מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה ${\displaystyle \ H}$ היא קבוצה של איברי חבורה ${\displaystyle \ G}$ המכילה את ${\displaystyle \ H}$, אשר מתקבלים מהכפלת אברי ${\displaystyle \ H}$ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה ${\displaystyle \ H}$ מהווה חלוקה של ${\displaystyle \ G}$ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה H בחבורה G נקרא האינדקס של H ב G, ומסומן ${\displaystyle \ [G:H]}$. אם G סופית, אינדקס זה שווה ל-${\displaystyle \ [G:H]={\frac {|G|}{|H|}}}$.

הגדרה פורמלית

תהא ${\displaystyle \ G}$ חבורה ותהא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H\subseteq G } תת-חבורה שלה. יהא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g\isin G } איבר כלשהו, אז הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ gH=\left\{gh|h\isin H\right\} } תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H } ב-${\displaystyle \ G}$, והקבוצה ${\displaystyle \ Hg=\left\{hg|h\in H\right\}}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H } ב-${\displaystyle \ G}$.

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה ${\displaystyle \ H}$, המחלקות (מאותו צד) של ${\displaystyle \ H}$ מהוות חלוקה של ${\displaystyle \ G}$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x \in g_1 H \cap g_2 H} אז לפי הגדרה קיימים ${\displaystyle \ h_{1},h_{2}}$ כך ש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x =g_1 h_1 = g_2 h_2} ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}} . מכיוון ש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h_2 h_1^{-1} \in H} , נובע ש ${\displaystyle g_{1}\in g_{2}H}$, ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_1 H = g_2 H} . הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של H מהוות חלוקה של G. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה ${\displaystyle \ H}$ שווה למספר האיברים ב-${\displaystyle \ H}$. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

דוגמה

ניקח את החבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\mathbb{Z},+)} , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 4\mathbb{Z}} היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{4\mathbb{Z}, 1+4\mathbb{Z},2+4\mathbb{Z},3+4\mathbb{Z}\}} . נציגים לדוגמה מהמחלקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+4\mathbb{Z}} הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3+4\mathbb{Z}} הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים

• מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)