חבורת מנה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באלגברה, חבורת מנה היא חבורה המתקבלת מ"קיפול" האיברים של חבורה נתונה, בהתאמה לתת חבורה נורמלית. הבניה של חבורות מנה היא מן הבניות היסודיות ביותר בתורת החבורות (ובאלגברה בכלל), וחבורות המנה מופיעות באופן טבעי בכל מקום שבו מוגדר הומומורפיזם מחבורה לחבורה אחרת, או כאשר חבורה פועלת על מרחב.

הגדרה

תהא ${\displaystyle \ G}$ חבורה ותהא ${\displaystyle \ N\triangleleft G}$ תת חבורה נורמלית שלה. הנורמליות פירושה שלכל איבר a בחבורה, המחלקות ${\displaystyle \ Na=\{na:n\in N\},\,aN=\{an:n\in N\}}$ שוות זו לזו. נתבונן באוסף המחלקות ${\displaystyle \ G/N=\{aN:a\in G\}}$.

כפל הקבוצות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ aN\cdot bN=a(Nb)N=a(bN)N=(ab)NN=abN} מראה שהפעולה ${\displaystyle \ aN*bN=abN}$ מחזירה איבר של G/N, ואינה תלויה בנציגים. פעולה זו הופכת את ${\displaystyle \ G/N}$ לחבורה, הנקראת "חבורת המנה של ${\displaystyle \ G}$ ביחס ל-${\displaystyle \ N}$". האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה ${\displaystyle \ eN=N}$.

הוכחה ש-G/N חבורה ביחס לכפל מחלקות:

1. הפעולה אסוציאטיבית משום שלכל ${\displaystyle aN,bN,cN\in G/N}$ מתקיים ${\displaystyle \ aN\cdot (bN\cdot cN)=(a(bc))N=((ab)c)N=(aN\cdot bN)\cdot cN}$ לפי אסוציאטיביות הכפל ב-G.
2. המחלקה N=1N היא איבר יחידה של הפעולה, משום שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle aN\in G/N} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ N\cdot aN=(1a)N=aN} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ aN \cdot 1N = (a1)N = aN} .
3. לכל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle aN\in G/N} יש איבר הופכי, ${\displaystyle \ a^{-1}N}$ (שהרי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ aN\cdot a^{-1}N=(aa^{-1})N=N} ).

חבורת המנה איננה תת חבורה של ${\displaystyle \ G}$. איבריה הם תת-קבוצות של ${\displaystyle \ G}$, ולא איברים של ${\displaystyle \ G}$.

דוגמאות

1. ${\displaystyle \ G/G\cong \{1\}}$, ואילו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G/\{1\} \cong G} .

2. נביט בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\mathbb{Z},+\right) } , חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור, ובתת החבורה שלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(2\mathbb{Z},+\right) } , חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור. זוהי תת-חבורה נורמלית שכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z} } חילופית ולכן כל תת-חבורה שלה נורמלית. לעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\mathbb{Z} } שתי מחלקות: ${\displaystyle \ \left\{2n|n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ו${\displaystyle \ \left\{2n+1|n\in \mathbb {Z} \right\}}$. לכן, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_2 } , כלומר חבורת המנה איזומורפית לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם).

ובאופן כללי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\simeq\mathbb{Z}_q } , כאשר ${\displaystyle \ q\mathbb {Z} }$ היא תת-החבורה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}} הכוללת את האברים המתחלקים ב-q.

3. מסמנים ב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{GL}_n(F)} את חבורת המטריצות ההפיכות מסדר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n } מעל השדה ${\displaystyle \ F}$, וב- ${\displaystyle \mathbf {SL} _{n}(F)}$ את חבורת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן שווה ל-1. השנייה היא תת-חבורה נורמלית בראשונה, וחבורת המנה איזומורפית לחבורה הכפלית של השדה.

קבוצת המנה

את אוסף המחלקות השמאליות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G/H} אפשר לבחון לכל תת-חבורה H, גם אם היא אינה נורמלית ב-G. חשיבותה העיקרית של קבוצה מסוג זה היא בכך שהחבורה פועלת עליה פעולה טרנזיטיבית, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g : xH \rightarrow gxH} , כאשר המייצב של הנקודה H הוא החבורה H עצמה. מתברר שכל קבוצה שעליה פועלת G באופן טרנזיטיבי איזומורפית לקבוצת מנה מן הטיפוס הזה.

ראו גם

• משפטי האיזומורפיזם
• חוג מנה
• אלגברת מנה

קישורים חיצוניים

• חבורת מנה, באתר MathWorld (באנגלית)