אי-שוויון הממוצעים

המקרה n=2

הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה ${\displaystyle n=2}$ . באדום הממוצע החשבוני של ${\displaystyle a,b}$ , בתכלת הממוצע הגאומטרי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

${\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab=(a+b)^{2}-4ab}$

כלומר:

${\displaystyle 4ab\leq (a+b)^{2}}$

ולכן לאחר חלוקה ב-4 והוצאת שורש:

${\displaystyle G_{2}={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A_{2}}$

קל לראות כי ${\displaystyle H_{2}A_{2}=G_{2}^{2}}$ ולכן משום ש-${\displaystyle G_{2}\leq A_{2}}$ בהכרח ${\displaystyle H_{2}\leq G_{2}}$ .

הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את אי-השוויון ${\displaystyle G_{n}\leq A_{n}}$ בשיטה הנקראת לעיתים "אינדוקציה הפוכה":

ראשית, הוא הראה שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle n}$ מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle 2n}$ מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות ${\displaystyle 2^{m}}$ מספרים, לכל ${\displaystyle m}$ . בנוסף לזה, הראה קושי שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח כי אי-השוויון ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$ מתקיים לכל ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ חיוביים. אז

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}&={\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\leq {\sqrt {{\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\cdot {\frac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}}\\\\&\leq {\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\end{aligned}}}$$

כאשר אי-השוויון הראשון נובע מן ההנחה שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל ${\displaystyle n}$ , והשני מן המקרה ${\displaystyle n=2}$ .

הצעד השני: נניח כי אי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל ${\displaystyle n}$ ; אם נתונים ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$ כאשר ${\displaystyle m<n}$ , נסמן ${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{m}}}$ ונקבל

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{m}\cdot \alpha ^{n-m}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}+(n-m)\alpha }{n}}=\alpha }$

ולכן ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{a_{1}\cdots a_{m}}}\leq \alpha }$ .

את אי-השוויון ${\displaystyle H_{n}\leq G_{n}}$ אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן

ניתן להוכיח את אי-השוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$

לכל פונקציה ${\displaystyle f}$ קמורה. אם משתמשים בפונקציה ${\displaystyle \exp }$, ומציבים ${\displaystyle x_{i}=\ln(a_{i})}$ , מתקבל

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}}$