פונקציה קמורה

דוגמה לפונקציה קמורה

במתמטיקה, פונקציה ממשית היא פונקציה קמורה בקטע מסוים, אם לכל שתי נקודות על גרף הפונקציה (שערך ה-${\displaystyle x}$ שלהן נמצא בקטע), הקו המחבר ביניהן נמצא מעל לגרף הפונקציה (או עליו). ההגדרה שכיחה בעיקר עבור פונקציות של משתנה ממשי אחד, והדוגמה הטיפוסית היא הפונקציה ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ , שהיא קמורה בכל הישר הממשי. הפונקציה נקראת קמורה כי היא תוחמת מלמטה קבוצה קמורה.

מושג הקמירות מוגדר גם לפונקציות של כמה משתנים, ובאופן כללי עבור כל פונקציה המוגדרת בתחום קמור של מרחב וקטורי ומקבלת ערכים ממשיים. לפונקציות קמורות יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית, בעיקר במספר אי-שוויונות יסודיים בתחום זה כמו אי-שוויון ינסן. כאן נעסוק רק בפונקציות של משתנה אחד.

למרות שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים "קמור" ו"קעור", העקום המתקבל הוא קעור מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא מכונה פונקציה קמורה. במערכת החינוך התיכוני בישראל נקראת הפונקציה גם "פונקציה קעורה כלפי מעלה".

הגדרה

המחשת ההגדרה לפונקציה קמורה

כאמור לעיל, פונקציה קמורה היא כזו שהקו המחבר שתי נקודות על הגרף שלה נמצא תמיד על או מעל לגרף:

הגדרה: פונקציה ${\displaystyle f}$ המוגדרת בקטע ${\displaystyle I}$ נקראת קמורה אם לכל ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ ולכל ${\displaystyle c\in [0,1]}$ מתקיים אי-השוויון

${\displaystyle (1-c)f(x_{1})+cf(x_{2})\geq f{\bigl (}(1-c)x_{1}+cx_{2}{\bigr )}}$

אפשר לנסח זאת גם כך: לכל ${\displaystyle a\in (x_{1},x_{2})}$ בקטע מתקיים ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})f(a)\leq (x_{2}-a)f(x_{1})+(a-x_{1})f(x_{2})}$ .

קמירות במובן החלש ובמובן החזק

• פונקציה היא קמורה במובן החלש אם לכל ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ ולכל ${\displaystyle c\in [0,1]}$ מתקיים ${\displaystyle (1-c)f(x_{1})+cf(x_{2})\geq f{\bigl (}(1-c)x_{1}+cx_{2}{\bigr )}}$ .
• פונקציה היא קמורה במובן החזק אם לכל ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ ולכל ${\displaystyle c\in (0,1)}$ מתקיים ${\displaystyle (1-c)f(x_{1})+cf(x_{2})>f{\bigl (}(1-c)x_{1}+cx_{2}{\bigr )}}$ .

בדרך כלל אין מבחינים בין שתי הגרסאות, וקוראים "קמורה" גם לפונקציה קמורה במובן החלש.

למשל, פונקציה לינארית היא קמורה במובן החלש, וגם קעורה במובן החלש; רק פונקציה לינארית יכולה להיות קמורה וקעורה בעת ובעונה אחת (ואף זאת, במובן החלש בלבד). הוספה של פונקציה לינארית לפונקציה ${\displaystyle f}$ אינה משנה את הקמירות של ${\displaystyle f}$ .

קמירות בקטע וקמירות מקומית

שלא כמו רציפות או גזירות, לקמירות אין משמעות בנקודה אחת, אלא רק בקטע. אומרים שהפונקציה קמורה מקומית ב-${\displaystyle x}$ (או קמורה בנקודה ${\displaystyle x}$), אם קיימת סביבה של ${\displaystyle x}$ שבה הפונקציה קמורה.

משפט: אם הפונקציה ${\displaystyle f}$ קמורה בקטעים פתוחים ${\displaystyle I,J}$ שאינם זרים, אז היא קמורה גם באיחוד שלהם ${\displaystyle I\cup J}$ .

הוכחה: נתונות הנקודות ${\displaystyle x_{1}<x_{2}\in I\cup J}$ . צריך להוכיח כי המיתר המחבר את הנקודות ${\displaystyle {\bigl (}x_{1},f(x_{1}){\bigr )},{\bigl (}x_{2},f(x_{2}){\bigr )}}$ נמצא מעל לגרף הפונקציה. אם שתי הנקודות ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ שייכות לאותו קטע ${\displaystyle I}$ או ${\displaystyle J}$ , התוצאה נובעת מן ההנחה על קמירות בכל קטע בנפרד. אחרת, נבחר נקודה כלשהי ${\displaystyle z\in I\cap J}$ . אם הנקודה ${\displaystyle {\bigl (}z,f(z){\bigr )}}$ מעל למיתר, אפשר לבחור נקודות סמוכות מימין ומשמאל ל-${\displaystyle z}$ שנמצאות בחיתוך ${\displaystyle I\cap J}$ , ולהגיע לסתירה. לכן הנקודה ${\displaystyle {\bigl (}z,f(z){\bigr )}}$ מתחת לקו, ובעזרתה אפשר להוכיח שכל נקודות הגרף נמצאות מתחת לקו.

מסקנה: אם ${\displaystyle f}$ קמורה מקומית בכל נקודה בקטע סגור או פתוח ${\displaystyle I}$ , אז היא קמורה בכל הקטע.

טענה זו אינה מובנת מאליה, משום שקמירות בקטע אינה מוגדרת כקמירות (מקומית) בכל נקודה שלו. מקמירות מקומית נובע שכל נקודה מוכלת בסביבה שבה הפונקציה קמורה ולכן הגרף שלה נמצא מעל המיתרים המחברים נקודות "קרובות זו לזו" בגרף – אבל לא ברור מדוע תכונה זו מתקיימת לכל שתי נקודות בקטע.

הוכחת המסקנה: ראשית נניח שהקטע סגור. אפשר לכסות אותו בקטעים פתוחים שהפונקציה קמורה בכל אחד מהם, ומכיוון שקטע סגור הוא קומפקטי, לכיסוי זה קיים תת-כיסוי סופי. כעת אפשר לסיים באינדוקציה לפי המשפט הקודם. אם הקטע פתוח, אז לכל שתי נקודות ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ בו קיים קטע סגור המוכל ב-${\displaystyle I}$ , ועליו חלה ההוכחה של המקרה הסגור.

הקשר בין קמירות ורציפות

• פונקציה ממשית הקמורה בקטע ${\displaystyle I}$ רציפה בכל נקודה בפנים הקטע.
• אם סדרת פונקציות ממשיות וקמורות מתכנסת נקודתית לפונקציה ${\displaystyle f}$ , אזי גם ${\displaystyle f}$ פונקציה קמורה בקטע (ובפרט רציפה בפנים הקטע).
• פונקציה ממשית היא קמורה אם ורק אם היא רציפה והאפיגרף שלה היא קבוצה קמורה.

הקשר בין קמירות ונגזרת ראשונה

• אם ${\displaystyle f}$ קמורה בקטע ${\displaystyle I}$ , אזי בכל נקודה בפנים של ${\displaystyle I}$ יש ל-${\displaystyle f}$ נגזרת מימין ונגזרת משמאל.
• אם ${\displaystyle f}$ גזירה בקטע פתוח, אזי ${\displaystyle f}$ קמורה בו אם ורק אם הנגזרת ${\displaystyle f'}$ היא פונקציה מונוטונית עולה.
• אם ${\displaystyle f}$ גזירה בסביבת הנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ , אז ${\displaystyle f}$ קמורה ממש בסביבת ${\displaystyle x_{0}}$ אם ורק אם ${\displaystyle f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$ לכל ${\displaystyle x}$ בסביבה. ובהתאמה אם ${\displaystyle f}$ דיפרנציאבילית בסביבת הנקודה ${\displaystyle x_{0}}$ , אז ${\displaystyle f}$ קמורה ממש בסביבת ${\displaystyle x_{0}}$ אם ורק אם ${\displaystyle f(x)>f(x_{0})+\langle \nabla f(x_{0}),(x-x_{0})\rangle }$ לכל ${\displaystyle x}$ בסביבה. זהו פיתוח טיילור מסדר ראשון.

הקשר בין קמירות ונגזרת שנייה

הקשר בין תכונת הקמירות לנגזרת השנייה נובע מן האבחנה הבאה, שאפשר להיווכח בנכונותה על ידי הפעלה של כלל לופיטל פעמיים: אם הפונקציה ${\displaystyle f}$ גזירה פעמיים בנקודה ${\displaystyle x}$ , אז

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(\beta -\alpha )f(x+\gamma h)-(\gamma -\alpha )f(x+\beta h)+(\gamma -\beta )f(x+\alpha h)}{h^{2}}}={\frac {(\beta -\alpha )(\gamma -\beta )(\gamma -\alpha )}{2}}f''(x)}$$

וזאת לכל ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ קבועים. אם ${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma }$ , כפי שנניח מעתה, אז המקדם באגף ימין הוא חיובי.

משפט: אם ${\displaystyle f}$ גזירה פעמיים ב-${\displaystyle x}$ וקמורה (במובן החלש) בסביבה של ${\displaystyle x}$ , אז ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$ (מן הקמירות נובע שהמונה באגף שמאל של הזהות הוא חיובי, ולכן הגבול אינו שלילי).

מכאן נובעת מיד

מסקנה: אם ${\displaystyle f}$ גזירה פעמיים בקטע, וקמורה שם (במובן החלש), אז ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$ בכל הקטע.

בכיוון ההפוך:

משפט: אם ${\displaystyle f}$ גזירה פעמיים בקטע ומתקיים ${\displaystyle f''(x)\geq 0}$ בכל הקטע, אז הפונקציה קמורה בקטע (במובן החלש). בנוסף לזה, אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f''(x)>0} בכל הקטע (או אפילו: הנגזרת השנייה אי-שלילית, ומתאפסת במספר סופי של נקודות), אז הפונקציה קמורה בקטע במובן החזק.

הוכחה: נסמן ב-${\displaystyle a<b}$ את קצות הקטע. מספיק להראות שהגרף של ${\displaystyle f}$ נמצא מתחת לקו המחבר את הנקודות המתאימות ל-${\displaystyle a,b}$ על הגרף, משום שאז אפשר להפעיל את אותו נימוק על כל זוג נקודות בתוך הקטע. נתבונן בפונקציה

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}

שהיא קמורה באותם מקומות בהם ${\displaystyle f}$ קמורה (משום שההפרש ביניהן הוא פונקציה לינארית). קל לבדוק כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(a)=g(b)=0} . נניח בשלילה שיש נקודה ${\displaystyle z\in (a,b)}$ עבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(z)\ge0} ; אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת נקודה בקטע ${\displaystyle (a,z)}$ שבה הנגזרת ${\displaystyle g'}$ אי-שלילית, וקיימת נקודה בקטע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (z,b)} שבה הנגזרת אי-חיובית. אבל לפי הנחת המשפט, הנגזרת היא פונקציה עולה (במובן החזק). ההוכחה למקרה של אי-שוויון חלש דומה.

מסקנה: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f''} רציפה בנקודה וחיובית שם, אז ${\displaystyle f}$ קמורה בסביבה של הנקודה (במובן החזק).

הוכחה: מן הרציפות נובע שהנגזרת השנייה חיובית בסביבה של ${\displaystyle x}$ .

לסיכום, בתחום שבו הפונקציה גזירה פעמיים מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iff\ 0\le f''} הפונקציה קמורה במובן החלש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \implies} הפונקציה קמורה במובן החזק ${\displaystyle f''>0\ \implies }$ .

פונקציה קמורה בחצייה

הגדרה: פונקציה ${\displaystyle f}$ המוגדרת בקטע ${\displaystyle I}$ נקראת קמורה בחצייה (midconvex או Jensen-convex) אם לכל ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$ מתקיים אי-השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}} .

• ברור כי כל פונקציה קמורה היא פונקציה קמורה בחצייה.
• לא כל פונקציה קמורה בחצייה היא פונקציה קמורה. ניתן לבנות דוגמה לפונקציה קמורה בחצייה שאינה קמורה באופן הבא:

נשלים את הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1\}} לבסיס המל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} של ${\displaystyle \mathbb {R} }$ כמרחב וקטורי מעל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} . נגדיר פונקציה ממשית ${\displaystyle f}$ באופן הבא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=1} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in B} ונרחיב באופן לינארי על כל ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

הפונקציה שהתקבלה היא העתקה לינארית ב-${\displaystyle \mathbb {R} }$ כמרחב וקטורי מעל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} , ולכן מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\bigl((1-c)x_1+cx_1\bigr)=(1-c)f(x_1)+cf(x_2)} לכל ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$ , מכאן שהפונקציה קמורה בחצייה.

בנוסף, כטרנספורמציה לינארית מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=0} , וכן ${\displaystyle f(c)=cf(1)=c}$ לכל ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$ . אולם הפונקציה ${\displaystyle f}$ אינה רציפה, משום שעל הרציונלים היא לינארית, אך מקבלת את הערך 1 אינסוף פעמים.

מכאן שהפונקציה אינה קמורה כי פונקציה קמורה היא בהכרח רציפה (ראו לעיל).

• פונקציה קמורה בחצייה ורציפה היא פונקציה קמורה. (מכאן שפונקציה המוגדרת בקטע פתוח היא קמורה אם ורק אם היא קמורה בחצייה ורציפה).
• פונקציה קמורה בחצייה וחסומה היא פונקציה קמורה.

שתי הטענות לעיל הן מקרים פרטיים של המשפט שהוכח באופן בלתי תלוי על ידי בלומברג וואצלב שרפינסקי:

• פונקציה קמורה בחצייה ומדידה היא פונקציה קמורה.

פונקציה קעורה

${\displaystyle f}$ היא פונקציה קעורה אם הקו המחבר כל שתי נקודות על הגרף עובר תמיד מתחת לגרף, כלומר הפונקציה הנגדית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -f} קמורה. מכאן שהנגזרת השנייה מאפשרת להכריע בין קמירות לקעירות: בקטעים שבהם הנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קמורה (במובן החזק), ובקטעים שבהם היא שלילית הפונקציה קעורה. הנקודות שבהן הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות או להפך (ולכן הנגזרת השנייה מתאפסת, אם היא מוגדרת בסביבת הנקודה) נקראות נקודות פיתול.

פונקציה לוג-קמורה

פונקציה חיובית ${\displaystyle f}$ המוגדרת בקטע ${\displaystyle I}$ נקראת פונקציה לוג-קמורה אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log(f)} היא פונקציה קמורה בקטע ${\displaystyle I}$ (סופי או אינסופי). אם ${\displaystyle f}$ גזירה פעמיים, תנאי זה שקול לכך כי ${\displaystyle f(x)f''(x)\geq f'(x)^{2}}$ . למשל, הפונקציות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=e^{x^2}} ופונקציית גמא הן לוג-קמורות.

קל לראות שפונקציה לוג-קמורה היא קמורה, אך ההפך אינו נכון. לדוגמה, הפונקציה ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ קמורה, אבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log\bigl(f(x)\bigr)=2\log(x)} אינה קמורה.

ראו גם

• קבוצה קמורה

קישורים חיצוניים