אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי (על-שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי) גרסה של אי-שוויון המשולש לנורמה ${\displaystyle p}$ במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור ${\displaystyle p\geq 1}$ מגדירים את נורמת ${\displaystyle \ell _{p}}$ של וקטור ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ לפי הנוסחה ${\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}^{p}|}}}$ .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי ${\displaystyle \|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}}$ לכל שני וקטורים ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת ${\displaystyle \ell _{p}}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

לפי אי-שוויון המשולש:

$${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{p}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}||x_{i}+y_{i}|^{p-1}\leq \sum _{i=1}^{n}(|x_{i}|+|y_{i}|)\cdot |x_{i}+y_{i}|^{p-1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\cdot |x_{i}+y_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|\cdot |x_{i}+y_{i}|^{p-1}}$$

כעת, לפי אי-שוויון הלדר:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\cdot |x_{i}+y_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|\cdot |x_{i}+y_{i}|^{p-1}\leq {\bigl (}\|x\|_{p}+\|y\|_{p}{\bigr )}\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{q(p-1)}\right)^{\frac {1}{q}}&={\bigl (}\|x\|_{p}+\|y\|_{p}{\bigr )}\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{\frac {p-1}{p}}\\&={\bigl (}\|x\|_{p}+\|y\|_{p}{\bigr )}\|x+y\|_{p}^{p-1}\end{aligned}}}$$

ולכן: ${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{p}\leq {\bigl (}\|x\|_{p}+\|y\|_{p}{\bigr )}\|x+y\|_{p}^{p-1}}$ , ולאחר צמצום נקבל ${\displaystyle \|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}}$ .

בתורת המידה

ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה-${\displaystyle p}$ של פונקציה על מרחב מידה ${\displaystyle (X,S,\mu )}$ מוגדרת ${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$ . המרחב ${\displaystyle L^{p}(X)}$ הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ${\displaystyle \|f\|_{p}<\infty }$ ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי-שוויון מינקובסקי ${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$ , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה ${\displaystyle p=2}$ מתקבל מרחב הילברט ${\displaystyle L^{2}(X)}$ .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי ${\displaystyle L^{p}}$ ; הוא מתקבל עבור המרחב ${\displaystyle L^{p}(X_{n},P(X_{n}),\#)}$ , כאשר ${\displaystyle X_{n}=\{1,\ldots ,n\}}$ ו-${\displaystyle \#}$ מידת המניה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם

• נורמה
• אי-שוויון הלדר
• מרחב Lp