אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, המהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון התגלה על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס בשנת 1888, ובאופן בלתי-תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי-השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

אי-השוויון

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי $(X,\sigma ,\mu )$ מרחב מידה. עבור קבוע $r\in \mathbb {R}$ לכל $f:X\to \mathbb {C}$ נהוג לסמן:

\|f\|_{r}\equiv \left(\int _{X}|f|^{r}d\mu \right)^{\frac {1}{r}}

יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם $f\in L^{r}(\mu )$ (כלומר $\int f^{r}<\infty$ ).

אי-השוויון קובע שלכל $p,q\in [1,\infty ]$ המקיימים ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ , לכל זוג פונקציות מדידות $f,g:X\to \mathbb {C}$ מתקיים כי

\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}

אם מתקיים בנוסף כי $p,q\in (1,\infty )$ וכן גם $f\in L^{p}(\mu ),g\in L^{q}(\mu )$ , אז אי-השוויון הוא שוויון אם ורק אם $|f|^{p},|g|^{q}$ תלויות לינארית במרחב $L^{1}(\mu )$ , כלומר קיים $c\geq 0$ עבורו $|f|^{p}=c\cdot |g|^{q}$ כמעט תמיד ביחס ל- $\mu$ .

מקרים פרטיים חשובים

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\alpha }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)^{\beta }

עבור $a_{i},b_{i},\alpha ,\beta \geq 0$ כאשר $\alpha +\beta =1$ .

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, למשל:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\cdot c_{i}^{\gamma }\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\alpha }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)^{\beta }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\right)^{\gamma }

כאשר $\alpha +\beta +\gamma =1$ וגם $\alpha ,\beta ,\gamma \geq 0$ .

כאשר $\alpha =\beta ={\frac {1}{2}}$ מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: $\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\geq \sum _{i=1}^{n}(a_{i}^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (b_{i}^{2})^{\frac {1}{2}}$ ולכן סה"כ $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\right)^{2}$

הוכחה

נשים לב שלכל $x,y\geq 0$ מתקיימת הטענה $x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\leq \alpha x+\beta y$ . זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי $\log$ פונקציה קעורה ולכן $\alpha \log(x)+\beta \log(y)\leq \log(\alpha x+\beta y)$ .

כעת נסמן $S_{a}=\sum _{i=1}^{n}a_{i},S_{b}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}$ ולפי הטענה הנ"ל מתקיים

\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {a_{i}}{S_{a}}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {b_{i}}{S_{b}}}\right)^{\beta }\leq \sum _{i=1}^{n}\left(\alpha \cdot {\frac {a_{i}}{S_{a}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}\left(\beta \cdot {\frac {b_{i}}{S_{b}}}\right)=\alpha +\beta =1

נכפיל את שני האגפים ב־ $S_{a}^{\alpha }\cdot S_{b}^{\beta }$ ונקבל את אי-השוויון הרצוי $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\leq S_{a}^{\alpha }\cdot S_{b}^{\beta }$ .

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.