אלגברה של קבוצות

במתמטיקה ובפרט בתורת המידה ואלגבראות בוליאניות, אלגברה של קבוצות (נקראת גם: שדה של קבוצות) מעל קבוצה ${\displaystyle X\,}$ היא אוסף ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ של תת-קבוצות של ${\displaystyle X}$ המקיים את תכונות הסגירות הבאות:

• האוסף כולל את הקבוצה הריקה ואת ${\displaystyle X}$.^[1]
• האסוף סגור ללקיחת משלים ביחס ל-${\displaystyle X}$. כלומר אם ${\displaystyle \ F\in {\mathcal {F}}}$ אז ${\displaystyle \ X\backslash F\in {\mathcal {F}}}$.
• האוסף סגור ביחס לאיחוד סופי: אם ${\displaystyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {F}}}$ אז ${\displaystyle F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {F}}}$.

משתי הדרישות האחרונות ומכללי דה-מורגן נובע גם כי אלגברה של קבוצות סגורה לחיתוך באורך סופי.

דוגמה לאלגברה של קבוצות מעל ${\displaystyle \mathbb {R} }$, היא אוסף כל האיחודים הסופיים של קטעים ממשיים מהצורה ${\displaystyle [a,b)\,}$.

סיגמא-אלגברה היא סוג מיוחד של אלגברה, המקיימת בנוסף גם סגירות לאיחוד של מספר בן מנייה של קבוצות. אם ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ היא סיגמא-אלגברה מעל ${\displaystyle X}$, הזוג הסדור ${\displaystyle \langle {X,{\mathcal {F}}}\rangle }$ נקרא מרחב מדיד (מרחב מדיד יחד עם פונקציית מידה נקרא מרחב מידה).

הערות שוליים