אלגברת מנה

אלגברת המנה - הכללה של חבורת המנה וחוג המנה למבנה אלגברי כללי. משמשת בין היתר להכללת משפטי האיזומורפיזם באלגברה אוניברסלית.

הגדרה:

יהי ${\displaystyle (A;f_{1},...,f_{n})}$ מבנה אלגברי עם n פעולות,ויהא ${\displaystyle \equiv }$יחס שקילות על אברי A כך שלכל פעולה ${\displaystyle f_{j}}$, אם מתקיים ${\displaystyle a_{i}\equiv b_{i}}$ עבור i=1...k ,מתקיים גם:

${\displaystyle f_{j}(a_{1},...,a_{k})\equiv f_{j}(b_{1},...,b_{k})}$

יחס השקילות משרה מבנה אלגברי חדש שנקרא אלגברת מנה ${\displaystyle A/\equiv }$ שאבריו הם מחלקות השקילות המתאימות עם הפעולות: ${\displaystyle f_{j}([a_{1}],...,[a_{k}])=[f_{j}(a_{1},...,a_{k}){\big ]}}$ (לפי ${\displaystyle \equiv }$)

דוגמה -הכללה של משפט האיזומורפיזם הראשון:

יהיו A ו-B מבנים אלגבריים ויהא F אפימורפיזם מ-A על-B,אזי:

A/Φ איזומורפי ל-B. כש- Φ יחס השקילות המוגדר על אברי A כך:${\displaystyle a\equiv b}$ אם ורק אם ${\displaystyle F(a)=F(b{\big )}}$.

הוכחה(חלקית) :

תחילה נוכיח ש-Φ משרה אלגברת מנה:

תהי ${\displaystyle f_{j}}$ פעולה k-ארית,ויהיו ${\displaystyle a_{i}\equiv b_{i}}$(לפי Φ) עבור i=1...k (זאת אומרת ${\displaystyle F(a_{i})=F(b_{i}{\big )}}$ עבור i=1...k). מכאן נובע ש,${\displaystyle F(f_{j}(a_{1},...,a_{k}))=({\hat {f_{j}}}(F(a_{1})),...,{\hat {f_{j}}}(F(a_{k})))=({\hat {f_{j}}}(F(b_{1})),...,{\hat {f_{j}}}(F(b_{k})))=F(f_{j}(b_{1},...b_{k}))}$ זאת אומרת , ${\displaystyle f_{j}(a_{1},...,a_{k})\equiv f_{j}(b_{1},...,b_{k})}$

נגדיר הומומורפיזם מ-A/Φ ל-B כך: ${\displaystyle \ \Psi ([a])=F(a)}$ הוא חח"ע כי צמצמנו את כל הערכים השווים למחלקות שקילות (אברים בודדים),ועל בירושה מ-F.

ראו גם

• יחס שקילות
• חבורת מנה
• חוג מנה