גרופואיד

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, גרופואיד הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).

הגדרה

ביתר פירוט, גרופואיד ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם ${\displaystyle A}$ עם 2 העתקות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s,t : A \to X} הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : x \to y }

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(f) = s(x \to y) = x} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t(f) = t(x \to y)=y} .

לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} . סימון מקובל לחץ הוא

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : x \to y} או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \stackrel{f}{\longrightarrow} y} .

בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של ${\displaystyle f}$ ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} מוגדרת כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(g)=t(f)} ואז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g \circ f : s(f) \to t(g)} הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב

${\displaystyle A\times _{X}A=\left\{(f,g)\in A\times A\mid t(f)=s(g)\right\}}$

וטווח שהוא ${\displaystyle A}$. הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g,h \in A} מוגדרת אזי מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f } .

ישנו גם שיכון של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} בתוך ${\displaystyle A}$ המתאים לכל אובייקט ${\displaystyle x\in X}$ את מורפיזם הזהות ${\displaystyle 1_{x}}$ שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל ${\displaystyle f:w\to x}$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1_x \circ f = f} ולכל ${\displaystyle g:x\to y}$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g \circ 1_x = g} .

לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : x \to y} הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1} : y \to x} כך שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1} \circ f = 1_x} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \circ f^{-1} = 1_y} .

את הגרופואיד מסמנים ${\displaystyle {\mathcal {G}}:A\rightrightarrows X}$ או ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\left[A\rightrightarrows X\right]}$.

דוגמאות

חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד ${\displaystyle X=\{x\}}$ ולכן כל חץ הוא מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : x \to x} וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא ${\displaystyle 1_{x}}$. לכל חץ ${\displaystyle f}$ יש הפכי ${\displaystyle f^{-1}}$, ולכן זהו גרופואיד.

דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.

עוד דוגמה: גרופואיד פעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \times X \rightrightarrows X} - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} שחבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \to g \cdot x} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X , g \in G} , כלומר: כל חץ הוא זוג סדור ${\displaystyle (g,x)}$ כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (g,x) : x \to g \cdot x} . קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-${\displaystyle (g,x)^{-1}=(g^{-1},g\cdot x)=g\cdot x\to g^{-1}\cdot (g\cdot x)=x}$.

תכונות

ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} והמורפיזמים מ-${\displaystyle a}$ ל-${\displaystyle b}$ נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} . "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} .

ראו גם

בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.

לקריאה נוספת