האינוולוציה הסימפלקטית

באלגברה לינארית, האינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות מסדר ${\displaystyle \ 2m\times 2m}$ היא ההעתקה ${\displaystyle \ \operatorname {M} _{2m}(F)\rightarrow \operatorname {M} _{2m}(F)}$ המוגדרת לפי ${\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)^{s}=\left({\begin{array}{cc}D^{t}&-B^{t}\\-C^{t}&A^{t}\end{array}}\right)}$, כאשר ${\displaystyle \ A,B,C,D}$ הם בלוקים בגודל ${\displaystyle \ m\times m}$ במטריצה, ו-${\displaystyle \ X^{t}}$ מסמן את המטריצה המשוחלפת של הבלוק ${\displaystyle \,X}$.

האינוולוציה הסימפלקטית של אלגברת המטריצות היא אינוולוציה, כלומר, העתקה שומרת חיבור והופכת סדר בכפל, שהפעלתה פעמיים נותנת את העתקת הזהות. בניגוד לאינוולוציה האורתוגונלית ${\displaystyle \ X\mapsto X^{t}}$ על ${\displaystyle \ \operatorname {M} _{n}(F)}$, שבה מרחב המטריצות הסימטריות הוא ממימד ${\displaystyle \ {\frac {n(n+1)}{2}}}$ ומימד מרחב המטריצות האנטי-סימטריות הוא מהמימד המשלים ${\displaystyle \ {\frac {n(n-1)}{2}}}$, באינוולוציה הסימפלקטית המצב הפוך.

כל אינוולוציה של אלגברה פשוטה מרכזית ההופכת להיות סימפלקטית לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול, נקראת "אינוולוציה סימפלקטית". לדוגמה, האינוולוציה הסטנדרטית של אלגברת קווטרניונים ${\displaystyle \ Q=F[x,y|yx=-xy,x^{2}=a,y^{2}=b]}$, המוגדרת לפי ${\displaystyle \ {\overline {\alpha +\beta x+\gamma y+\delta xy}}=\alpha -\beta x-\gamma y-\delta xy}$, היא סימפלקטית (משום שמימד האברים הסימטריים הוא 1).

ראו גם

• אינוולוציה (תורת החוגים)