משפט ההדדיות הריבועית

בתורת המספרים, משפט ההדדיות הריבועית מקשר בין היכולת לפתור שתי משוואות ריבועיות בחשבון מודולרי. כתוצאה מכך הוא מסייע לבדוק מתי למשוואה מודולרית מסוימת יש פתרון, אם כי הוא אינו מצביע על שיטה יעילה למציאה של פתרון כזה.

משפט ההדדיות הריבועית נוסח לראשונה בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", וניתן לראות עדות לחיבה שרחש לו בכך שפרסם שש הוכחות שונות שלו במהלך חייו (ושתיים נוספות פרי עטו פורסמו לאחר מותו). מאז פורסמו הוכחות רבות נוספות; בשנת 2000 פורסם ספר שהכיל רשימה של לא פחות מ-196 הוכחות שונות.^[1] מאז פרסום זה עובד המחבר על חלקים נוספים לספרו ומספר ההוכחות המעודכן עומד בדצמבר 2009 על 233.^[2]

מוטיבציה וניסוח בסיסי

חוק ההדדיות הריבועית נוסח בעקבות הצורך לקבוע את הפתירות של משוואות ריבועיות באריתמטיקה מודולרית, כלומר לענות על השאלה האם עבור מספר ראשוני נתון p קיים מספר טבעי x כך שכאשר מציבים אותו במשוואה ריבועית מסוימת התוצאה תתחלק ב-p. בשונה מקונגרואנציות ממעלה ראשונה, בהן ניתן להיעזר במשפטים אריתמטיים בסיסיים כמו משפט השאריות הסיני, לא קיים תהליך מתמטי פשוט אשר מאפשר לבדוק את הפתירות של קונגרואנציה ממעלה שנייה.

חוק ההדדיות הריבועית קובע כי מספר ראשוני q הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני p בהתניה בתוצאת הקונגרואנציה ההפוכה; בניסוחו הבסיסי, המשפט מקשר בין היכולת לפתור את שתי המשוואות הבאות: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p,q} הם שני מספרים ראשוניים אי זוגיים, אז המשוואות הן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2\equiv p\ ({\rm mod}\ q) \qquad (A)}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2\equiv q\ ({\rm mod}\ p) \qquad (B)}

כלומר, השאלה היא מתי כל אחד מהמספרים הוא ריבוע מודולו המספר השני.

על פי המשפט, התשובה לשאלה זו תלויה בשארית של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p,q} בחלוקה ב-4. אם השארית של שניהם בחלוקה ב-4 היא 3, קיים פתרון לאחת מהמשוואות אם ורק אם לא קיים פתרון לשנייה. לעומת זאת, אם השארית בחלוקה ב-4 של לפחות אחד משני הראשוניים היא 1, הרי שקיים פתרון לאחת מהמשוואת אם ורק אם קיים פתרון לשנייה, ומכאן נובע שם החוק "חוק ההדדיות הריבועית" - כלומר חייבת להיות הדדיות בפתירות הקונגרואנציות הריבועיות (במקרה השני).

ניסוח בעזרת סימן לז'נדר

ניתן לנסח את המשפט בצורה קומפקטית יותר באמצעות סימן לז'נדר, המוגדר בצורה הבאה עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} ראשוני אי זוגי ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a} שלם כלשהו:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ a\ \mathrm{is\ a\ square\ modulo\ }p, \\ 0 & \mathrm{if\ } p\ \mathrm{divides\ }a, \\ -1 & \mathrm{otherwise,}\end{matrix}\right.}

בסימונים אלו, משפט ההדדיות הריבועית ומשפטי העזר יכולים להיות מנוסחים בצורה הבאה:

אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p,q} ראשוניים אי זוגיים, אז:

• ${\displaystyle \ \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left(-1\right)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)}}$

וכמו כן:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{-1}{p}\right)=\left(-1\right)^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}}
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{2}{p}\right)=\left(-1\right)^{\left(\frac{p^2-1}{8}\right)}}

הוכחה

ההוכחה המתוארת כאן, היא ההוכחה השלישית של קרל פרידריך גאוס למשפט ההדדיות הריבועית.

למה 1: הלמה של גאוס: יהי p מספר ראשוני אי זוגי, ונניח ש- a זר ל- p. אם n הוא מספר המספרים בקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S = \{a,2a,3a,\dots,((p-1)/2)a\}} המשאירים שארית גדולה מ- p/2 כשמחלקים אותם ב-p, אז: ${\displaystyle \ \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}}$, כאשר ( ) הוא סימן לז'נדר.

הוכחה. מכיוון ש- a זר ל- p, כל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (p-1)/2} המספרים בקבוצה S שונים זה מזה מודולו p. נסמן ב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1,\dots,r_m} את שאריות החילוק הקטנות מ- p/2, וב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s_1,\dots,s_n} את שאריות החילוק הגדולות מ- p/2. המספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1,\dots,r_m,p-s_1,\dots,p-s_n} כולם חיוביים וקטנים מ- p/2. יתרה מזו, אלו מספרים שונים, מפני שאם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p-s_i = r_j} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_j \equiv u a \pmod{p}} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s_i \equiv v a \pmod{p}} , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u+v \equiv 0 \pmod{p}} , והרי המכפלות בקבוצה S הן תמיד בגורמים קטנים מ- p/2.

אם כך, המספרים ברשימה הנ"ל שווים למספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1,2,\dots,(p-1)/2} בסדר כלשהו, ומכפלתם שווה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\frac{p-1}{2})!} ; לכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1\dots r_m (p-s_1)\dots (p-s_n) = (-1)^n r_1 \dots r_m \cdot s_1 \dots s_n \equiv ((p-1)/2)! \pmod{p}} . מצד שני, המספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1,\dots,r_m, s_1,\dots,s_n} מהווים סידור מחדש של הקבוצה S, ומכאן ש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ((p-1)/2)! \equiv (-1)^n \cdot a^{(p-1)/2} \cdot ((p-1)/2)! \pmod{p}} . לכן ${\displaystyle \ (-1)^{n}\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}}$. אבל לפי מבחן אוילר, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{a}{p}\right) = a^{(p-1)/2}} .

למה 2: אם p הוא מספר ראשוני אי זוגי ו-a הוא מספר שלם אי זוגי המקיים 1 =(gcd(a,p אז:

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}[ka/p]}}$

הוכחה: בדומה ללמה של גאוס.

הוכחת משפט ההדדיות הריבועית: נתבונן בשתי הקבוצות הבאות: {N = {1,2,...,(p-1)/2 ו- {M = {1,2,...,(q-1)/2 . מספר הזוגות (m,n) כאשר m נבחר מתוך הקבוצה M ו-n נבחר מתוך הקבוצה N שווה לפי עקרון כפל האפשרויות ל- ${\displaystyle (p-1)/2\cdot (q-1)/2}$ . נחלק את קבוצות הזוגות (m,n) לשלוש קבוצות: האחת אשר הזוגות בה מקיימים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n/m < p/q} , השנייה: ${\displaystyle \ n/m=p/q}$, השלישית: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n/m > p/q} . אם ${\displaystyle \ n/m=p/q}$ אז נקבל: nq = pm, ומאחר ש-p ו-q זרים נקבל ש-q מחלק את m, סתירה, לכן אין זוגות כאלה. לכל m, מספר המספרים הטבעיים n הקיימים את התנאי בקבוצה הראשונה הוא בדיוק [mp/q] ולכל n מספר המספרים הטבעיים m המקיימים את התנאי בקבוצה השלישית הוא בדיוק [nq/p]. מאחר שסה"כ הזוגות הסדורים (m,n) שווה לסכום הזוגות המשתייכים לקבוצה הראשונה ולקבוצה השלישית, נקבל:

${\displaystyle (p-1)/2\cdot (q-1)/2}$ = עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sum_{m=1}^{(q-1)/2}[mp/q]} + {\sum_{n=1}^{(p-1)/2}[nq/p]}} .

אבל לפי למה 2: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{m=1}^{(p-1)/2}[mq/p]}} ו-: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\sum_{n=1}^{(q-1)/2}[np/q]}} , ולכן: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)\cdot\left(\frac{q}{p}\right)= (-1)^{(p-1)/2\cdot(q-1)/2} } ובכך נשלמה הוכחת משפט ההדדיות הריבועית.

דוגמה לשימוש

• 3 הוא שארית ריבועית מודולו p אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p \equiv \pm 1 \pmod{12}} .

נניח כי רוצים לדעת האם קיים פתרון למשוואה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 \equiv 17 \pmod {31}\,}

נראה כיצד לעשות זאת תוך שימוש במשפט ההדדיות הריבועית ובשתי תכונות בסיסיות של סימן לז'נדר:

• ${\displaystyle \ \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}$
• אםעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ a\equiv b{\pmod {p}}\,} , אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)}

בעזרת המשפט ושתי תכונות אלו נקבל:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{17}{31}\right)= 1 \cdot\left(\frac{17}{31}\right) = \left (\frac{31}{17}\right)\left (\frac{31}{17}\right) \left(\frac{17}{31}\right)= \left (\frac{31}{17}\right)\cdot\left(-1\right)^{\left(\frac{31-1}{2}\right)\left(\frac{17-1}{2}\right)}=\left(\frac{31}{17}\right)=\left(\frac{14}{17}\right)= \left(\frac{2}{17}\right)\left(\frac{7}{17}\right)=\left(\frac{7}{17}\right)}

כאשר המעבר האחרון נובע מכך ש-17 מתחלק ב-8 עם שארית 1 ולכן: ${\displaystyle \ \left({\frac {2}{17}}\right)=1}$

כעת, נמשיך בצורה דומה:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{7}{17}\right)=\left(\frac{17}{7}\right)\cdot\left(-1\right)^{\left(\frac{17-1}{2}\right)\left(\frac{7-1}{2}\right)}=\left(\frac{17}{7}\right)=\left(\frac{3}{7}\right)}

ושוב נעשה את אותו הדבר בדיוק:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{3}{7}\right)=\left(\frac{7}{3}\right)\cdot\left(-1\right)^{\left(\frac{7-1}{2}\right)\left(\frac{3-1}{2}\right)}=-\left(\frac{7}{3}\right)=-\left(\frac{1}{3}\right)=-1}

וקיבלנו שאין למשוואה פתרון. המעבר האחרון נובע מכך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\frac{1}{p}\right)=1} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} (למעשה, ${\displaystyle \ \left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=1}$ לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} ראשוני ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a} , על פי הגדרה).

הכללות

קיימות הכללות של המשפט לסדרים גבוהים יותר - למשל, לחזקה שלישית ורביעית. עם זאת, מכיוון שחלק משורשי היחידה של 1 מסדר שהוא גבוה מ-2 אינם ממשיים, משפטים אלו מתבססים על אריתמטיקה שמערבת את המספרים המרוכבים ואינה תלויה אך ורק במספרים רציונליים, ולכן שייכים יותר לתורת המספרים האלגברית.

ראו גם

• שארית ריבועית
• הלמה של גאוס

הערות שוליים