מבחן אוילר

מבחן אוילר (על שם המתמטיקאי לאונרד אוילר) הוא מבחן לבדיקה אם מספר כלשהו ${\displaystyle a}$ הוא שארית ריבועית של מספר ראשוני ${\displaystyle p}$ .

יהי ${\displaystyle p}$ מספר ראשוני אי-זוגי ויהי ${\displaystyle a}$ מספר זר ל-${\displaystyle p}$ . ${\displaystyle a}$ הוא שארית ריבועית של ${\displaystyle p}$ אם ורק אם ${\displaystyle {\sqrt {a^{p-1}}}\equiv 1{\pmod {p}}}$ .

הוכחה

כיוון ראשון: נניח כי ${\displaystyle a}$ שארית ריבועית של ${\displaystyle p}$ , כלומר עבור ${\displaystyle x}$ כלשהו ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}$ . לפי המשפט הקטן של פרמה ${\displaystyle x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$ .

${\displaystyle x^{p-1}={\sqrt {x^{2(p-1)}}}={\sqrt {(x^{2})^{p-1}}}={\sqrt {a^{p-1}}}}$ . לכן ${\displaystyle {\sqrt {a^{p-1}}}\equiv 1{\pmod {p}}}$ .

כיוון שני: נניח כי ${\displaystyle {\sqrt {a^{p-1}}}\equiv 1{\pmod {p}}}$ . כיוון ש-${\displaystyle U_{p}}$ חבורה ציקלית, אזי קיים לה יוצר, יהי ${\displaystyle g\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ היוצר שלה. מכיוון ש-${\displaystyle a\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ אז ${\displaystyle a=g^{\alpha }}$ עבור ${\displaystyle \alpha }$ כלשהו. ${\displaystyle {\sqrt {a^{p-1}}}={\sqrt {(g^{\alpha })^{p-1}}}={\sqrt {g^{\alpha (p-1)}}}\equiv 1{\pmod {p}}}$ . הסדר של ${\displaystyle g}$ הוא ${\displaystyle p-1}$ , לכן ${\displaystyle p-1}$ מחלק את ${\displaystyle {\frac {\alpha (p-1)}{2}}}$ ומכאן ${\displaystyle \beta ={\frac {\alpha }{2}}}$ מספר שלם. עבור ${\displaystyle \ x=g^{\beta }}$ מתקיים ${\displaystyle x^{2}=(g^{\beta })^{2}=g^{2\beta }=g^{\alpha }=a}$ , ולכן ${\displaystyle a}$ שארית ריבועית של ${\displaystyle p}$ .