הלמה של ג'ונסון ולינדנשטראוס

במתמטיקה, הלמה של ג'ונסון ולינדנשטראוס (על שם המתמטיקאים ויליאם ג'ונסון ויורם לינדנשטראוס) נוגעת להיטל של נקודות ממרחב אוקלידי בממד גבוהה לממד נמוך.

הלמה אומרת שניתן לשכן ${\displaystyle m}$ נקודות מ־${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ במרחב מממד נמוך יותר (התלוי רק ב־${\displaystyle m}$ ובדיוק הרצוי), בלי לשנות יותר מדי את המרחקים בין הנקודות. ללמה שימושים בקרובי מטריצות, הורדת ממדים ועוד.

ניסוח הלמה

יהי ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ ו־${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{N}}$ קבוצת נקודות בגודל ${\displaystyle m}$ .

אזי לכל ${\displaystyle n>ln(m)/\varepsilon ^{2}}$ קיימת העתקה לינארית ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} ^{n}}$ עבורה

${\displaystyle (1-\varepsilon )\|u-v\|^{2}\leq \|f(u)-f(v)\|^{2}\leq (1+\varepsilon )\|u-v\|^{2}}$

לכל ${\displaystyle u,v\in X}$ .

גרסה הסתברותית של הלמה

קיימת גרסה נוספת של הלמה הטוענת טענה מקבילה עבור התפלגויות של העתקות:

יהי ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\delta <{\frac {1}{2}}}$ ויהי ${\displaystyle d}$ שלם חיובי. אז עבור ${\displaystyle k={\mathcal {O}}(\varepsilon ^{-2}\log(1/\delta ))}$ קיימת התפלגות על מרחב המטריצות בגודל ${\displaystyle k\times d}$ כך שלכל וקטור ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ מתקיים

${\displaystyle P(|\Vert Ax\Vert _{2}^{2}-1|>\varepsilon )<\delta }$

לקריאה נוספת