מטריצה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מַטְרִיצָה היא מערך דו-ממדי, שרכיביו הם סקלרים, לרוב מספרים, או איברים בחוג כללי יותר.

האפשרות לרכז במטריצה מידע רב ולהפעיל עליה שיטות וכלים סטנדרטיים, מוצאת למטריצות שימושים רבים. השימוש השכיח ביותר במטריצות הוא לפתרון של מערכת משוואות לינאריות באמצעות דירוג מטריצות. מלבד זה חשיבותן העיקרית של המטריצות במתמטיקה, ובעיקר של מטריצות ריבועיות, נובעת מכך שניתן לייצג בעזרתן טרנספורמציות לינאריות, באופן כזה שפעולת הכפל מתאימה לפעולת ההרכבה של הטרנספורמציות. מסיבות דומות יש לאלגברות של מטריצות תפקיד מרכזי בתורת החוגים.

הגדרה

כאשר n ו-m הם מספרים טבעיים, מטריצה מסדר m על n (או: מסדר ${\displaystyle \ m\times n}$) היא מערך שבו m שורות ו- n עמודות. הרכיבים הם בדרך כלל מספרים - כך למשל "מטריצה ממשית" היא מטריצה שרכיביה מספרים ממשיים, ו"מטריצה מרוכבת" היא מטריצה שרכיביה מספרים מרוכבים. אם R הוא מבנה אלגברי, "מטריצה מעל (מבנה אלגברי) R" היא מטריצה שרכיביה שייכים ל- R.

את רכיבי המטריצה מסמנים בזוג אינדקסים: הרכיב במקום שבו נפגשות השורה ה-i והעמודה ה-j במטריצה A נקרא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{ij}} , או לפעמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_{ij}} .

לדוגמה, המטריצה ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}}$ היא מסדר 4 על 3; הרכיבים הם ${\displaystyle \ A_{3,2}=9,A_{4,3}=5}$, וכן הלאה.

מטריצה כייצוג של העתקה לינארית

אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות לינאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים בסיסים סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה לינארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה לינארית יחידה. התאמה חשובה זו היא איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות הלינאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.

כדי לתאר העתקה לינארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעבירה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הלינאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל וקטור, כפי שנדגים מיד.

נניח כי ${\displaystyle \,T}$ היא העתקה לינארית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T : V \rightarrow W } , ונניח גם שנתונים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B= \{v_1,...,v_n\}} בסיס ל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V} , ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C= \{w_1,...,w_m\}} בסיס ל ${\displaystyle \ W}$ (ברור כי ממדי המרחבים הם ${\displaystyle \,n}$ ו-${\displaystyle \,m}$ בהתאמה).

עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס ${\displaystyle \ v_{i}}$. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Tv_i \in W} על פי הבסיס ${\displaystyle \ C}$. נכתוב זאת במפורש:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Tv_1 =a_{1,1} w_1 + a_{2,1} w_2 +...+a_{m,1}w_m }

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Tv_2 =a_{1,2} w_1 + a_{2,2} w_2 +...+a_{m,2}w_m }

${\displaystyle \ Tv_{3}=a_{1,3}w_{1}+a_{2,3}w_{2}+...+a_{m,3}w_{m}}$

וכך הלאה עד

${\displaystyle \ Tv_{n}=a_{1,n}w_{1}+a_{2,n}w_{2}+...+a_{m,n}w_{m}}$

בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v \in V} את ${\displaystyle \ Tv}$ על ידי שימוש בלינאריות. ניקח וקטור כלשהו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v \in V } , שייצוגו לפי הבסיס ${\displaystyle \ B}$ הוא

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v = c_1 v_1 + c_2 v_2+ ... + c_n v_n } , נשתמש בלינאריות כדי לקבל

${\displaystyle \ Tv=T(\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T(v_{i})}$

אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T(v_i)} , ולכן נציב ונקבל

${\displaystyle \ Tv=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(a_{1,i}w_{1}+a_{2,i}w_{2}+...+a_{m,i}w_{m})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(\sum _{j=1}^{m}a_{j,i}w_{j})}$.

נקבץ את המקדמים של כל ${\displaystyle \ w_{j}}$, ונקבל

${\displaystyle \ Tv=(\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{1,i})w_{1}+(\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{2,i})w_{2}+...+(\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{m,i})w_{m}}$

בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Tv } לפי הבסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C} הוא

${\displaystyle \ [Tv]_{C}=(\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{1,i},\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{2,i},...,\sum _{i=1}^{n}c_{i}a_{m,i})}$

הסימון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [Tv]_C } משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור ${\displaystyle \ Tv}$ לפי הבסיס ${\displaystyle \ C}$.

כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על וקטור כלשהו ${\displaystyle \ v}$. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים ${\displaystyle \ a_{i,j}}$ כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [T]^B_C = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ... & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{3,n} \\ : & : & : &\ddots & : \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & ... & a_{m,n} \\ \end{bmatrix}}

• הסימון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [T]^B_C} משמעו: המטריצה המייצגת את ההעתקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T : V \rightarrow W } לפי הבסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,B} בתחום ${\displaystyle \,V}$ והבסיס ${\displaystyle \,C}$ בטווח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,W} .

• המקדמים במטריצה הם בדיוק המקדמים המופיעים ברצף המשוואות מתחילת הפסקה, בשינוי סדר קל. העמודה ה-${\displaystyle \,i}$ במטריצה מורכבת מהמקדמים מהשורה ה-${\displaystyle \,i}$ ברצף המשוואות. משמע, העמודה ה-${\displaystyle \,i}$ היא ייצוגו של וקטור הבסיס ה-${\displaystyle \,i}$ של התחום, לפי הבסיס של הטווח.

• במפורש: האיבר ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_{i,j}} במטריצה הוא המקדם ה-${\displaystyle \,i}$ בווקטור הקואורדינטות של התמונה של הווקטור ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,j} בבסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,B} , בייצוג על פי הבסיס ${\displaystyle \,C}$. מטריצה מסדר ${\displaystyle \ m\times n}$ מייצגת העתקה ממרחב ${\displaystyle \,n}$-ממדי למרחב ${\displaystyle \,m}$-ממדי.

מציאת התמונה של וקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של כפל מטריצות. אם ניקח וקטור כלשהו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v \in V} , שייצוגו על פי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,B} הוא

על מנת למצוא את תמונתו נצטרך פשוט לבצע את כפל המטריצות

הסימון ${\displaystyle \ [v]_{B}}$ משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור ${\displaystyle \ v}$ לפי הבסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B} .

מרחבי שורות, עמודות ופתרונות

ערך מורחב – משפט רושה-קפלי

מרחב השורות של מטריצה ${\displaystyle \ A}$ בגודל ${\displaystyle \ m\times n}$ הוא המרחב הנפרש על ידי וקטורי שורותיה (${\displaystyle \ m}$ וקטורים ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F^n} ), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (${\displaystyle \ n}$ וקטורים ב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F^m} ).

דרגת שורות ${\displaystyle \ A}$ היא הממד של מרחב שורותיה, ודרגת עמודות ${\displaystyle \ A}$ היא ממד מרחב העמודות שלה בהתאם. ניתן להוכיח כי עבור כל מטריצה דרגת השורות שווה לדרגת העמודות. על כן, אומרים לרוב בפשטות דרגת המטריצה.

מרחב הפתרונות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא מרחב כל הווקטורים שפותרים את המשוואה ${\displaystyle Ax=0}$. משפט בסיסי קובע שסכום ממד מרחב הפתרונות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} עם הדרגה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא מספר העמודות שלה, n.

מבנה אלגברי

אוסף כל המטריצות מסדר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m \times n} מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ המסומן ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {F} ^{n},\mathbb {F} ^{m})}$ מהווה מרחב וקטורי מממד ${\displaystyle \ n\cdot m}$. מקרה חשוב במיוחד הוא אוסף כל המטריצות הריבועיות מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$. קבוצה זו מסומנת ${\displaystyle \operatorname {M_{n}} (\mathbb {F} )}$ ומהווה חוג לא קומוטטיבי עם יחידה, שלו מספר תת-חוגים מעניינים. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ המסומן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname {GL_n} (\mathbb{F})} (General linear group) מהווה חבורה ביחס לכפל מטריצות. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$, שהדטרמיננטה שלהן היא אחד, המסומן ${\displaystyle \operatorname {SL_{n}} (\mathbb {F} )}$ (Special linear group) הוא תת-חבורה חשובה שלו.

מטריצה משוחלפת

ערך מורחב – מטריצה משוחלפת

מטריצה משוחלפת (Transposed Matrix) היא מטריצה שהתקבלה ממטריצה אחרת על ידי הפיכת כל שורה לעמודה (שחלוף).

הגדרה

תהא ${\displaystyle \!\,A}$ מטריצה מסדר ${\displaystyle \!\,n\times m}$. המטריצה המשוחלפת שלה, שתסומן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, A^t} (מקובלים גם הסימונים A^tr , ^tA , A^T או ′A) ,

היא מטריצה מסדר ${\displaystyle \!\,m\times n}$ שמוגדרת כך: ${\displaystyle \!\,(A^{t})_{ij}=(A)_{ji}}$, עבור כל ${\displaystyle \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$.

דוגמאות

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\quad \quad {\mbox{and}}\quad \quad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

מטריצה ריבועית

ערך מורחב – מטריצה ריבועית

מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות לינאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף ${\displaystyle \ M_{n}(F)}$ של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות.

הדיון במטריצות ריבועיות עשיר במיוחד, וכולל התייחסות לסוגים מיוחדים אחדים של מטריצות ריבועיות, ובהן מטריצת היחידה, מטריצה הפיכה, מטריצה סינגולרית, מטריצה משוחלפת, מטריצה סימטרית, מטריצה אנטי-סימטרית, מטריצה הרמיטית, מטריצה יוניטרית, מטריצה נילפוטנטית ומטריצה סטוכסטית, וכמו כן למטריצה ריבועית מוגדרת הדטרמיננטה שלה, שהיא כלי חשוב במספר תחומים.

שפות תכנות

בשפות תכנות מיוצגת מטריצה באמצעות מערך דו-ממדי. חבילות תוכנה לתכנות מדעי כוללות גם פונקציות לפעולות על מטריצות, כגון שחלוף וכפל.

ראו גם

• חיבור מטריצות
• שיטת הלכסון של גאוס
• מטריצת מעבר

קישורים חיצוניים