הלמה של נקאימה

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג R.

לפי הלמה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J(R)\cdot M \neq M} לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, M, כאשר אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J=J(R)} הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידאלים השמאליים המקסימליים של R. הטענה חשובה במיוחד כאשר R חוג מקומי (אז J הוא האידאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר M נוצר סופית, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J\cdot M+N \neq M} לכל תת-מודול עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N<M} ; כלומר, המכפלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J(R)\cdot M} קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- M על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-M כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי ${\displaystyle \,{\mathcal {F}}}$ אלומה קוהרנטית. אז הנבט בx, המסומן בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathcal{F}_x} , הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה U של x כך שעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathcal{F}|_{U} = 0} .

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} מעל חוג ${\displaystyle R}$ ולכל אידאל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} ב-${\displaystyle R}$, אם ${\displaystyle IM=M}$ אז קיים ${\displaystyle a\in I}$ שעבורו ${\displaystyle \left(1+a\right)M=0}$. כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד ${\displaystyle a\in I}$ כך שלכל ${\displaystyle m\in M}$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle am=m} .

הוכחה

נניח כי M הוא R-מודול נוצר סופית השונה מ-0. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-M נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M'\subset M} מקסימלי (כלומר, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M'} אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של M). מכך נובע כי ${\displaystyle \,M/M'}$ הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידאל שמאלי מקסימלי m בR כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M/M'\cong R/m} . אבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,J(R)\cdot R/m \subset m \cdot R/m = 0} , ולכן ${\displaystyle \,J(R)\cdot M/M'=0}$. מכאן ש- ${\displaystyle \,J(R)\cdot M\subseteq M'\neq M}$.

לקריאה נוספת