הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ'

הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ היא משפט בסיסי בטופולוגיה של סימפלקסים, המאפשר להסיק, בתנאים מסוימים, שלכמה קבוצות סגורות יש נקודה משותפת. את הלמה אפשר להוכיח מן הלמה של שפרנר, והיא מספקת הוכחה פשוטה יחסית למשפט נקודת השבת של בראואר.

הטענה

יהי ${\displaystyle \ \Delta =\langle p_{0},p_{1},\dots ,p_{n}\rangle }$ סימפלקס n-ממדי. תהיינה ${\displaystyle \ F_{0},\dots ,F_{n}}$ קבוצות סגורות, כך שכל פאה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle e_{i_1},\dots,e_{i_k}\rangle} מכוסה על ידי איחוד הקבוצות ${\displaystyle \ F_{i_{1}}\cup \cdots \cup F_{i_{k}}}$ (ובפרט הסיפלקס כולו מכוסה על ידי איחוד כל הקבוצות). אז לקבוצות ${\displaystyle \ F_{0},\dots ,F_{n}}$ יש נקודה משותפת.

לדוגמה, בממד n=1 הטענה היא שאם שתי קבוצות סגורות מכסות (יחד) קטע, באופן שכל אחת מהן מכסה אחד מקצותיו, אז יש להן נקודה משותפת; טענה זו שקולה לכך שהקטע הוא קבוצה קשירה. בממד n=2, הטענה היא שאם שלוש קבוצות סגורות מכסות משולש באופן שכל אחת מהן מכסה את הקודקוד המתאים לה וכל שתיים מהן מכסות (יחד) את הצלע המתאימה להן, אז יש להן נקודה משותפת, וכן הלאה.

הוכחה

נניח בשלילה שתנאי הלמה מתקיימים וחיתוך הקבוצות ריק. נתבונן במשלימים ${\displaystyle \ G_{i}=\Delta -F_{i}}$. מן ההנחות נובע ש- ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i=0}^{n}}$ היא כיסוי פתוח של הסימפלקס, שהוא קבוצה קומפקטית. לכן יש לו מספר לבג ${\displaystyle \ \epsilon >0}$ (ע"ש). נסתכל בחלוקה סימפליציאלית של ${\displaystyle \ \Delta }$, שקוטרו של כל סימפלקס בה קטן מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \epsilon} . על החלוקה הזו נגדיר פונקציית קודקודים ${\displaystyle \ m}$, באופן הבא: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in \langle p_{i_0},...,p_{i_k} \rangle } קודקוד בחלוקה, אז על-פי תנאי הכיסוי יש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ j \in \{i_1,\dots,i_k\}} כך ש- ${\displaystyle \ x\in F_{j}}$, ואז נגדיר ${\displaystyle \ m(x)=j}$; בפרט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in F_{m(x)}} לכל קודקוד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} של החלוקה. פונקציה זו מקיימת את תנאי הלמה של שפרנר, ולכן קיים בחלוקה הסימפליציאלית סימפלקס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle x_0,...,x_n \rangle} , כך שלכל אינדקס ${\displaystyle \,i}$ מתקיים ${\displaystyle x_{i}\in F_{i}}$. לפי בחירת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \epsilon} , קיים ${\displaystyle \,G_{i_{0}}}$ כך ש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\langle x_0,...,x_n \rangle \subset G_{i_0}} , אבל אז ${\displaystyle \langle x_{0},...,x_{n}\rangle \cap F_{i_{0}}=\emptyset }$, וזו סתירה למסקנה ש-${\displaystyle x_{i_{0}}\in F_{i_{0}}}$.

ראו גם

• הלמה של שפרנר
• משפט נקודת השבת של בראואר