הלמה של שפרנר

הלמה של שפרנר עוסקת בצביעות של משולשים והוכחה על ידי המתמטיקאי הגרמני עמנואל שפרנר ב-1928.

הצגת הבעיה

בהינתן טריאנגולציה של משולש למשולשים יותר קטנים, נניח כי קיימת תלת צביעה של קודקודי הטריאנגולציה בשלושה צבעים כך ששלושת קודקודי המשולש הגדול צבועים בצבעים שונים וגם כל קודקוד פנימי צבוע באחד משני הצבעים בהם צבועים קודקודי המשולש הגדול שנמצאים בקצות הצלע עליה מונח הקודקוד הפנימי, אז עבור לפחות אחד מהמשולשים הקטנים – קודקודיו צבועים בשלושה צבעים שונים.

באופן פורמלי, נסמן את קדקודי המשולש הגדול ב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}} ונדרוש שהקודקוד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{i}} צבוע בצבע ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$. המשפט טוען שאם הקדקודים שעל צלע המשולש הגדול בין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{i}} ל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{j}} צבועים באחד משני הצבעים ${\displaystyle i,j}$, אז קיים משולש קטן "צבעוני" כלומר כל אחד מקודקודיו צבוע בצבע שונה.

הוכחה

נסמן ב ${\displaystyle K}$ את מספר המשולשים הקטנים הצבעוניים. נוכיח ש ${\displaystyle K}$ אי־זוגי ובפרט אינו 0. נסתכל על קבוצת המשולשים הקטנים ${\displaystyle T_{1},T_{2},...,T_{n}}$ הכולל גם את המשולש המשלים של המשולש הגדול כאשר פורסים אותו על ספירה וקדקודיו הם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}} , נכנה שני משולשים מקבוצה זו "חברים" אם הם שכנים (כלומר עם צלע משותפת) וקודקודיהם המשותפים צבועים בשני הצבעים ${\displaystyle {1,2}}$.

לכל משולש "צבעוני" (מלבד המשולש המשלים) יש חבר אחד ויחיד, למשולשים שצבועים בצבעים ${\displaystyle {1,2}}$ יש שני חברים, ולכל השאר (מלבד אולי המשולש המשלים) – אין "חברים" כלל. בפרט מבין המשולשים הקטנים רק ל"צבעוניים" יש מספר אי זוגי של חברים. נשים לב ש:

1. למשולש המשלים יש מספר אי זוגי של "חברים" כי לאורך הצלע בין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{1}} ל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{2}} הצבע מתחלף ${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$ מספר אי זוגי של פעמים וכל פעם כזו מוסיפה חבר.
2. סכום מספר החברים של כל המשולשים ${\displaystyle T_{1},T_{2},...,T_{n}}$ הוא זוגי כי כל יחס "חברות" נספר פעמיים.

נובע כי ${\displaystyle K}$ אי־זוגי כנדרש.

ראו גם

• משפט נקודת השבת של בראואר
• הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ'
• מחלקת הסיבוכיות PPAD שמציאת המשולש הצבעוני היא בעיה שלמה עבורה^[1].

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

• "הלמה של שפרנר-משחק מתמטי". 
• "הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים מתמטיקה צבעונית - הלמה של שפרנר פרופ' עמוס אלטשולר - משחק מתמטי". 

הערות שוליים