המחט של בופון

ניסוח הבעיה

נתונה מחט באורך ${\displaystyle l}$, אשר נופלת על משטח בעל קווים מקבילים במרחק ${\displaystyle l\leq d}$, מהי ההסתברות כי המחט תחצה את הקו?

פתרון

על מרכז x נמצאת מחט אדומה ומחט כחולה. המחט האדומה נמצאת באזור האפור ולכן היא עוברת את הקו משמאל.

יהי ${\displaystyle x}$ המרחק בין מרכז המחט לקו הקרוב ביותר, תהי ${\displaystyle \theta }$ הזווית החדה שבין המחט לקו.

המחט תעבור את הקו אם יתקיים: ${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}sin\theta }$

למחט קטנה, כאשר ${\displaystyle d>l}$ יתקיים^[1]: ${\displaystyle P=\int _{0}^{2\pi }{\frac {l\left|cos\theta \right|}{d}}{\frac {d\theta }{2\pi }}}$ ובחישוב האינטגרל נקבל: ${\displaystyle P={\frac {2l}{\pi d}}}$

במקרה ש ${\displaystyle d=l}$: ${\displaystyle P={\frac {2}{\pi }}=0.636619...}$