המספר i

המיקום של ${\displaystyle \pm i}$ על המישור המרוכב כאשר הציר האופקי הוא המספרים הממשיים והציר האנכי הוא הציר המדומה

המספר i, ידוע גם כ"יחידת המספר הדמיוני ${\displaystyle i}$" או "היחידה הדמיונית", היא הפתרון למשוואה הריבועית: ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ .

כיוון שאין מספר ממשי המקיים את זהות זו, ותחת הנחת סגירות לחיבור וכפל בסקלר של היחידה הדמיונית, ניתן להרחיב את המישור הממשי על ידי הכללת היחידה הדמיונית במישור חדש, אשר כולל את היחידה הדמיונית – מישור המספרים המרוכבים.

החשיבות העיקרית של הוספת היחידה הדמיונית היא בעובדה שעל ידי הכללת היחידה הדמיונית כצירוף לינארי שלה עם המספר 1 (המישור המרוכב), לכל פולינום מדרגה ${\displaystyle n}$ יהיו ${\displaystyle n}$ שורשים (המשפט היסודי של האלגברה). בהתאם לכך הפתרונות למשוואה שהוצגה יהיה ${\displaystyle i}$ או ${\displaystyle -i}$ ומציאתם על ידי הצבת הערכים בנוסחת השורשים.

היסטוריה

יצירתו של המספר ${\displaystyle i}$ , ביחד עם המספרים המרוכבים הייתה בתחילת המאה ה-16, ומיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהגדרתם לצורך פתרון של המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לא־אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, כאשר צירוף לינארי שלהם עם מספרים ממשים נקרא מספר מרוכב. המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של לאונרד אוילר וקרל פרידריך גאוס.

הגדרה

היחידה הדמיונית מוגדרת להיות:

${\displaystyle {\begin{aligned}i&={\sqrt {-1}}\\i^{2}&=-1\end{aligned}}}$

לפי ההגדרה זו ${\displaystyle \pm i}$ שניהם שורשים של 1-.

אף על פי שהמבנה נקרא "דמיוני" ועל אף שתפיסתית קשה להבין את מהות ההגדרה, בהשוואה למספרים הממשיים, מתמטית למבנה יש תקפות מלאה. יתרה מכך, רוב הפעולות שתקפות למספרים ממשיים, תקפות גם למספרים מרוכבים (מספרים המכילים צירוף לינארי של ${\displaystyle i}$ ואחד). בנוסף ניתן להגדיר אותו עלי ידי בניית חוג מנה של פולינומים. כאשר המספר i הוא שארית של החלוקה של ${\displaystyle i}$ בפולינום ${\displaystyle i^{2}+1}$ (האות ${\displaystyle i}$ משמשת כאן במקום ${\displaystyle x}$) אז אם ניקח את שארית החלוקה הזו של ${\displaystyle i^{2}}$ באותו פולינום נקבל ${\displaystyle -1}$.

ככל מספר מרוכב, ${\displaystyle i}$ יכול להיות מיוצג על ידי חלק ממש וחלק מדומה:

${\displaystyle {\text{Re}}(i)=0\ ,\ {\text{Im}}(i)=1}$

אפשרות נוספת להצגתו תהייה לפי גודל וזווית – קואורדינטות קוטביות: בהינתן: ${\displaystyle i=R\exp(\theta i)}$ (${\displaystyle R}$ גודל, ${\displaystyle \theta }$ פאזה) ${\displaystyle R=1\ ,\ \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ משמעות הדבר שמיקום ${\displaystyle i}$ יהיה על מעגל היחידה של המישור המרוכב בזווית של 90 מעלות ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי – כפי שמתואר באיור למעלה.

התנהגות של i בחזקות שלמות וגדולות מ-2

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\end{aligned}}}$

ואם כך נוכל לזהות מחזוריות, ולפיה נזהה את ההתנהגות של ${\displaystyle i}$ בחזקת ${\displaystyle n}$ טבעי.

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{4n}=1\\i^{4n+1}=i\\i^{4n+2}=-1\\i^{4n+3}=-i\end{aligned}}}$

בדומה ניתן לומר:

${\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1}$

בהתאם לנאמר נוכל לקבוע זהות נוספת ביחס ל־${\displaystyle i}$ :

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

דרך אחרת לקבל תוצאות אלו היא באמצעות נוסחת אוילר

${\displaystyle i^{n}=\cos \left(n{\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left(n{\frac {\pi }{2}}\right)}$

וכאשר מעלים את ${\displaystyle i}$ מחזקת עצמו:

${\displaystyle i^{i}=\left(e^{\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)i}\right)^{i}=e^{\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)i^{2}}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}}$

יחסי גומלין בין i והצמוד

מעצם היותם שני שורשים של אותה המשוואה הריבועית: ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ הם נקראים "צמודים מרוכבים" ומתקיים עבורם: ${\displaystyle {\bar {i}}=-i}$ בנוסף שני המספרים הם גם נגדיים וגם הופכים אחד של השני, תכונה הכרחית לקיום תת־מרחב וקטורי המדומה: ${\displaystyle -i={\frac {1}{i}}}$ ${\displaystyle i=-(-i)}$ מאחר שפתרון המשוואה ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ היא ההגדרה ליחידה הדמיונית, שלה יש שני פתרונות, ניכרת בעייתיות מסוימת בהגדרה ולכן ישנו צורך לפתרון: שני שורשי המשוואה יהיו ${\displaystyle \pm i}$ ונתייחס לאחד כיחידה הדמיונית ולשני המספר הנגדי\הופכי לו. לאור זאת, אין שוני אלגברי בהגדרתם הבסיסית, אך בהינתן בחירה של שתי יחידות אלו נוכל להגדיר את יחסי הגומלין לעיל.

מעברים מתמטיים שלא ניתן להפעיל על i

• אין לאחד כפל של שורשים שמהווים מספר מדומים לכדי שורש אחד:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$ ; (סתירה).

• בדומה כפל בהופכי, משמע חילוק:

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {-1}}=i}$ ; (סתירה).

או בצורה כללית:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}\neq {\sqrt {a\cdot b}}\\{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\neq {\sqrt {\frac {a}{b}}}\end{aligned}}}$

מעברים אלו תקפים במישור הממשי אך לא במרוכב. פונקציות מרוכבות מתנהגות בצורה שונה בהרבה מפונקציות ממשיות, בין השאר כנגזרת לאיסור על מעברי בסיס אלו.

שורשים של i

שורשים ריבועיים

ייצוג השורשים הריבועיים של ${\displaystyle i}$ במישור המרוכב

ייצוג השורשים ממעלה 3 של ${\displaystyle i}$ במישור המרוכב

ל־${\displaystyle i}$ יש שני שורשים ריבועיים שהם:^[1]

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

נוכיח את נכונות הטענה:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}$

ולכן נוכל לכתוב

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

פעולות נוספות הכוללות את i

כפל של ${\displaystyle i}$ במספר מרוכב:

${\displaystyle i(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai}$

הופכי של ${\displaystyle i}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i}$

חילוק ב־${\displaystyle i}$ :

${\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai}$

שקול לסיבוב המספר המרוכב בפאזה של 90 מעלות.

עצרת

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i}$

וכן

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh(\pi )}}}}$^[2]

החלפת סימון היחידה הדמיונית

• בענפי מדע רבים כמו הנדסת חשמל נוהגים להחליף סימון היחידה הדמיונית מ־${\displaystyle i}$ ל־${\displaystyle j}$ עקב החשש לבלבול בסימון בין היחידה הדמיונית והזרם החשמלי ששניהם מסומנים באותה אות.
• בהתאם לעובדה זו שפת התכנות "פייתון" מסמנת את היחידה הדמיונית ב־${\displaystyle j}$ וכן שפת התכנות MATLAB מקבלת את שני הסימונים.
• חלק מספרי הלימוד משמשיים באות היוונית יוטא: (${\displaystyle \iota }$) כדי למנוע בלבול עם אינדקסים המסומנים באות הלטינית ${\displaystyle i}$ .

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence
• סרטון הסבר על המספר i ביוטיוב

הערות שוליים