השערת ברטראן

השערת ברטראן היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי ${\displaystyle n>3}$ קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע הפתוח ${\displaystyle (n,2n-2)}$ .

ברטראן אף וידא את תקפותה לכל ${\displaystyle n<3\cdot 10^{6}}$ . למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919^[1] הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו^[2], הנעזרת בפונקציית צ'בישב^[3] ובמקדמים בינומיים.

נימוק היוריסטי

ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ אם ${\displaystyle n}$ גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע ${\displaystyle (n,n+\varepsilon n)}$ . הסיבה לכך היא שלפי המשפט, כמות המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-${\displaystyle x}$ הוא בקירוב ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}$ .

המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל:

${\displaystyle {\pi {\bigl (}(1+\varepsilon )n{\bigr )}-\pi (n)\sim {\frac {(1+\varepsilon )n}{\ln(1+\varepsilon )n}}-{\frac {n}{\ln(n)}}={\frac {n}{\ln(n)}}\left({\frac {1+\varepsilon }{\ln(1+\varepsilon ){\frac {n}{\ln(n)}}}}-1\right)\sim {\frac {\varepsilon n}{\ln(n)}}}}$

כאשר ${\displaystyle n}$ שואף לאינסוף, ההפרש – שהוא מספר הראשוניים בקטע – שואף לאינסוף.

הערות שוליים