השערת גודמן

באנליזה מרוכבת, השערת גודמן היא השערה בדבר המקדמים של פונקציות מולטי-ולנטיות, המכלילה את משפט דה ברנז'. את ההשערה ניסח אדולף וינקלר גודמן, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המולטי-ולנטיות.

ניסוח

תהי ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}z^{n}}}$ היא פונקציה ${\displaystyle p}$-ולנטית. ההשערה טוענת כי המקדמים מקיימים:

${\displaystyle |b_{n}|\leq \sum _{k=1}^{p}{\frac {2k(n+p)!}{(p-k)!(p+k)!(n-p-1)!(n^{2}-k^{2})}}|b_{k}|}$

תוצאות חלקיות

גודמן ומתמטיקאים רבים הגיעו לתוצאות חלקיות בדבר ההשערה. היא הוכחה למספר משפחות פונקציות ספציפיות, ובמקביל הוכחו חסמים חלשים יותר מהטענה עצמה.

משפט: כאשר ${\displaystyle p=2,3}$ השערת גודמן נכונה עבור פונקציות מהצורה ${\displaystyle P\circ \phi }$ כאשר ${\displaystyle P}$ הוא פולינום ו-${\displaystyle \phi }$ היא אוניוולנטית.

לקריאה נוספת