השערת abc

השערת abc היא השערה מרחיקת לכת בענף האנליזה הדיופנטית של תורת המספרים, שהציעו ז'וזף אוסטרלה (Joseph Oesterlé) ודויד מסר (David Masser) בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20. ההשערה ידועה לפיכך גם בשם השערת אוסטרלה-מסר. ההשערה מכלילה משפטים חשובים והשערות מרכזיות בתחום, ובהם משפט פאלטינגס וגרסה חלשה של המשפט האחרון של פרמה. לפי ההשערה, אם a,b,c הם מספרים זרים המקיימים ${\displaystyle a+b=c}$, אז הרדיקל ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ אינו קטן בהרבה מ-c. זהו נוסח עבור מספרים שלמים של משפט מייסון-סטותרס על פולינומים.

באוגוסט 2012 הודיע המתמטיקאי היפני שיניצ'י מוצ'יזוקי (Shinichi Mochizuki) כי הוא פיתח גישה חדשה, "תורת טייכמולר בין-מרחבית" (inter-universal Teichmüller theory), המובילה לדבריו להוכחה של השערת abc. מומחים בגאומטריה לא קומוטטיבית העריכו שיש בגישה זו תוכן של ממש, אם כי קשה לראות בשלב זה יישומים אחרים של התורה. למרות שיתוף הפעולה של מוצ'יזוקי, הבדיקה מתקדמת באיטיות.

ההשערה

לכל ${\displaystyle \epsilon >0}$ יש לכל היותר מספר סופי של שלשות של מספרים זרים a,b,c המקיימות ${\displaystyle a+b=c}$ ו- ${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$, כאשר ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ היא מכפלת הגורמים הראשוניים השונים של המכפלה abc. הגרסה האפקטיבית של ההשערה קובעת שאין פתרון למשוואה a+b=c עבור a,b,c זרים המקיימים ${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{2}}$.

עבור רוב המספרים, הרדיקל ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$ הוא מסדר הגודל של n, ורק לעיתים נדירות הוא קטן בהרבה: זה קורה כאשר n מתחלק בחזקה גבוהה של גורם ראשוני. למשל, ${\displaystyle \operatorname {rad} (2^{4}\cdot 3^{5})=2\cdot 3=6\ll 2^{4}\cdot 3^{5}=3888}$. משום כך, בדרך כלל יהיה הרדיקל של abc גדול מ-c. שלשות כמו ${\displaystyle 3+125=128}$ שבהן הרדיקל קטן, ${\displaystyle \operatorname {rad} (3\cdot 5^{3}\cdot 2^{7})=30<128}$, הן נדירות למדי. יש אמנם מספר אינסופי של שלשות שעבורן ${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)}$, אבל על-פי ההשערה, אם מחזקים את האי-שוויון הזה מעט ודורשים ${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$, יש לו כאמור רק מספר פתרונות סופי.

קישורים חיצוניים

• אסף שטול-טראורינג, עבודה של 500 עמודים עשויה לפתור תעלומה מתמטית, באתר הארץ, 20 בספטמבר 2012
• "Around ABC", Preda Mihaiescu, The European Mathematical Society Newsletter, pp. 29-34, Sept. 2014.