התכנסות נקודתית

התכנסות נקודתית היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, בה יש התכנסות בכל נקודה של הסדרה או הטור. תכונה זו חלשה יותר מתכונת ההתכנסות במידה שווה של סדרות וטורי פונקציות, ואינה מבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{ f_n \}_{n=1}^{\infty} } סדרת פונקציות המוגדרת בקטע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} . אנו אומרים שהסדרה מתכנסת נקודתית ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_0\in I} אם הסדרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{ f_n (x_0) \}_{n=1}^{\infty}} (זוהי סדרת מספרים ממשיים) מתכנסת. אנו אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת נקודתית בקטע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} אם היא מתכנסת נקודתית בכל נקודה $\ x\in I$ .

ניתן גם להגדיר את ההתכנסות באמצעות קריטריון קושי להתכנסות הסדרה $\ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ לכל $\ x$ :

$\ \forall \varepsilon >0\ :\ \forall x\in I\ :\ \exists N_{x}>0\ :\ {\mbox{such that}}\ \forall n,m>N_{x}:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon$

את פונקציית הגבול נסמן ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} והיא מוגדרת על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n (x)} .

דוגמה

נעיין בסדרת הפונקציות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_{n}(x) = x^n} המוגדרת בקטע $\ [0,1]$ . הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}0\leq x<1\\1&{\mbox{if }}x=1\end{matrix}}\right.$

פונקציית הגבול אינה רציפה, למרות שכל הפונקציות בסדרה הן רציפות. מכאן שההתכנסות אינה במידה שווה, משום שאם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, הרי גם פונקציית הגבול רציפה.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.