סדרת קושי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, סדרת קושי היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים: לכל מרחק חיובי ${\displaystyle \varepsilon }$, יש מקום בסדרה שממנו והלאה המרחק בין כל שני אברים קטן מ-${\displaystyle \varepsilon }$. סדרות אלה קרויות על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי.

הגדרה פורמלית: יהי ${\displaystyle (X,d)}$ מרחב מטרי, ותהי ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרה במרחב זה. אומרים כי זו סדרת קושי אם לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים ${\displaystyle N}$ מתאים לו, כך שלכל ${\displaystyle m,n>N}$ מתקיים ${\displaystyle d(a_{m},a_{n})<\varepsilon }$ .

בכל מרחב מטרי, כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. מאידך ישנם מרחבים מטריים בהם יש סדרות קושי שאינן מתכנסות. מרחב מטרי שלם הוא כזה שבו לכל סדרת קושי בו קיים גבול. שדה המספרים הממשיים הוא דוגמה למרחב מטרי שלם. דוגמה למרחב מטרי שאינו שלם היא הקטע הפתוח ${\displaystyle (0,1)}$ עם המטריקה הנורשת מהמספרים הממשיים, שכן הסדרה ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ היא סדרת קושי שאין לה גבול בקטע.