התפלגות F

התפלגות F
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	${\displaystyle \ d_{1},d_{2}}$ דרגות חופש
תומך	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
תוחלת	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ for d2 > 2
ערך שכיח	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ for d1 > 2
שונות	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ for d2 > 4
צידוד	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ for d2 > 6

בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F, ידועה גם כהתפלגות פישר־סנדקור היא התפלגות רציפה. התפלגות F מופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות (ראו מבחן F).

הגדרה וסימון

כאשר משתנה מקרי ${\displaystyle X}$ מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים ${\displaystyle d_{1}}$ ו-${\displaystyle d_{2}}$ , נהוג לסמן זאת כך: ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ , ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$$

עבור ${\displaystyle x\geq 0}$ , כאשר ${\displaystyle \mathrm {B} }$ היא פונקציית בטא. בשימושים רבים נהוג שהמשתנים ${\displaystyle d_{1}}$ ו-${\displaystyle d_{2}}$ מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.

תכונות

משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים ${\displaystyle d_{1}}$ ו-${\displaystyle d_{2}}$ עשוי להיות יחס של שני משתנים המתפלגים לפי כי בריבוע:

$${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$$

כאשר:

• ${\displaystyle U_{1}}$ ו-${\displaystyle U_{2}}$ מתפלגים לפי כי בריבוע עם ${\displaystyle d_{1}}$ ו-${\displaystyle d_{2}}$ דרגות חופש בהתאמה
• ${\displaystyle U_{1}}$ ו-${\displaystyle U_{2}}$ הם בלתי תלויים

ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל באנליזת שונות, משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן כדי להראות אי־תלות של ${\displaystyle U_{1}}$ ו-${\displaystyle U_{2}}$ .