פונקציית הצטברות

בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה ${\displaystyle \ X\leq a}$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, הפונקציה ${\displaystyle \ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a)}$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול ${\displaystyle \ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a)}$ שווה ל-0.
2. הגבול ${\displaystyle \ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a)}$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר ${\displaystyle \ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)}$ לכל ${\displaystyle \ a\leq b}$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות ${\displaystyle \ a<X<b}$. ואכן, אם דורשים ש- ${\displaystyle \ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a)}$, נובע שהגבול משמאל ${\displaystyle \ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b)}$ שווה להסתברות ${\displaystyle \ \operatorname {Pr} (X<b)}$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה ${\displaystyle \ a<X<b}$, ${\displaystyle \ a<X\leq b}$, ${\displaystyle \ a\leq X<b}$ ו- ${\displaystyle \ a<X<b}$.

בפרט נובע ש-${\displaystyle \ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x)}$, כך שהסיכוי למאורעות ${\displaystyle \ X=b}$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}$