זהויות מופן

באלגברה וגאומטריה פרויקטיבית, זהויות מופן הן זהויות שיכול לקיים חוג לא אסוציאטיבי: הזהות השמאלית ${\displaystyle \ (x(zx))y=x(z(xy))}$, והזהות הימנית ${\displaystyle \ y((xz)x)=((yx)z)x}$. זהויות אלו מופיעות באופן טבעי כשחוקרים את הפרמטריזציה של מישור פרויקטיבי, והן קרובות לזהויות שמקיימת אלגברה אלטרנטיבית. גם לזהות המרכזית ${\displaystyle \ (xy)(zx)=(x(yz))x}$ יש תפקיד מסוים. הזהויות קרויות על שם רות מופן .

את הזהות הימנית והשמאלית אפשר לנסח כטענות על אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, כזהויות ${\displaystyle \ r_{x}r_{z}r_{x}=r_{(xz)x}}$ ו-${\displaystyle \ \ell _{x}\ell _{z}\ell _{x}=\ell _{x(zx)}}$, בהתאמה. ניסוח זה חושף קשר לאלגברות ז'ורדן, שבהן משחק האופרטור ${\displaystyle \ Q_{x}(y)=xyx}$ תפקיד חשוב.

שלוש זהויות מופן מתקיימות בכל אלגברה אלטרנטיבית. מאידך, אלגברה עם יחידה המקיימת את הזהות הימנית והשמאלית היא אלטרנטיבית; ואלגברה עם חילוק^[1] המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית היא אלטרנטיבית.

באלגברה עם יחידה המקיימת את זהות מופן הימנית או השמאלית מתקיימת הזהות ${\displaystyle \ (a,b,a)^{4}=0}$, כאשר ${\displaystyle \ (a,b,c)}$ הוא האסוציאטור.

מקורות

• The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014.

הערות שוליים