זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות ${\displaystyle c_{n}=0}$, כאשר ${\displaystyle c_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}y_{1}x_{\sigma (2)}y_{2}\cdots x_{\sigma (n)}y_{n}}$ הוא פולינום קפלי ב-2n משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-n מקיימת את הזהות ${\displaystyle c_{n}=0}$. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי ${\displaystyle c_{n}=0}$, כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-n משתנים^[1].

הזהות ${\displaystyle c_{n}=0}$ נובעת מן הזהות ${\displaystyle c_{n-1}=0}$, כך שהתנאי ${\displaystyle c_{n}=0}$ הולך ונעשה חלש כאשר n גדל. באלגברה עם יחידה ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{2}=0} אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום f נקרא n-מתחלף אם לכל ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ מתקיים ${\displaystyle f(...,x_{i},...,x_{j},...)=-f(...,x_{j},...,x_{i},...)}$. פולינום קפלי ה-n-י הוא n-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-n-מתחלף הכללי ביותר: ${\displaystyle c_{n}=0}$ היא זהות של האלגברה A, אם ורק אם כל פולינום n-מתחלף הוא זהות של A. לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית ${\displaystyle s_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}}$ אפשר להסיק מהזהות ${\displaystyle c_{n}}$ על ידי ההצבה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y_{i}\mapsto 1} (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות ${\displaystyle M_{n}(F)}$ (מעל שדה F) מקיימת את זהות קפלי ${\displaystyle c_{n^{2}+1}}$, אבל לא את הזהות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c_{n^{2}}} . האלגברה ${\displaystyle M_{n}(R)}$ מקיימת את ${\displaystyle c_{n^{2}+1}}$ אם ורק אם R קומוטטיבי.

אם A אלגברה מעל שדה F ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \chi _{n}(A)=V_{n}/(V_{n}\cap \operatorname {id} (A))} (כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V_n} הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_1,\dots,x_n} ), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S_n} על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה A מקיימת את זהות קפלי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_m} אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של ${\displaystyle \ \chi _{n}(A)}$ היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל n קיימת זהות קפלי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_m} הנובעת מן הזהות הסטנדרטית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_n} .

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

הערות שוליים