חבורה פשוטה

במתמטיקה, חבורה פשוטה היא חבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G\ne \{e\}} שאין לה תת-חבורה נורמלית לא־טריויאלית, כלומר תת־החבורות הנורמליות היחידות שלה הן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G} ו-${\displaystyle \ \{e\}}$ .

לפי משפט ז'ורדן-הלדר ההצגה של חבורה סופית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G} על ידי סדרה נורמלית היא יחידה, כאשר הגורמים של סדרת ההרכב הן חבורות פשוטות. מכאן החשיבות הרבה שיש לחבורות פשוטות בתור אבני הבניין של כל החבורות הסופיות, בדומה למספרים הראשוניים שמרכיבים את המספרים השלמים.

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות הושלם ב־1982 לאחר מאמצים משותפים של מתמטיקאים רבים.

דוגמאות

• כל חבורה שהסדר שלה הוא ראשוני היא פשוטה, כי על־פי משפט לגראנז' הסדר של תת־חבורה צריך לחלק את הסדר שלה, ורק 1 והמספר עצמו (היוצרים את תת־החבורות הטריוויאליות) הם כאלה.
• כל חבורה אבלית פשוטה היא החבורה הציקלית מסדר ראשוני.
• בין החבורות הסימטריות ${\displaystyle \ S_{n}}$ , אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n<5} אז ${\displaystyle \ S_{n}}$ חבורה פתירה ואינה פשוטה.

למשל עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n=4} קיימת הסדרה הנורמלית ${\displaystyle \ S_{4}\triangleright A_{4}\triangleright V_{4}\triangleright \{e,(1\ 2)(3\ 4)\}\triangleright \{e\}}$ כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_4} חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4 ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V_4} חבורת הארבעה של קליין.

מאידך, עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n\ge 5} , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_n} פשוטה.

• חבורות המטריצות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{PSL}_n(F)} הן פשוטות, אלא אם n=2 והשדה F הוא בן 2 או 3 אברים.

לפי משפט פייט-תומפסון, כל חבורה מסדר אי־זוגי היא פתירה. משפט זה נחשב לצעד המשמעותי הראשון בהוכחת משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. מן המיון השלם עולה כי הסדר של כל חבורה פשוטה, פרט לחבורות סוזוקי, מתחלק ב־3.

מושגים קרובים

אם G חבורה מושלמת (כלומר, ${\displaystyle \ [G,G]=G}$) וחבורת המנה ${\displaystyle \ G/Z(G)}$ פשוטה, אז החבורה G היא קוואזי־פשוטה (quasisimple). לחבורה פשוטה A, כל תת־חבורה של חבורת האוטומורפיזמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Aut}(A)} המכילה את כל האוטומורפיזמים של הצמדה נקראות חבורות כמעט פשוטות (almost simple).

למשל, כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{PSL}_n(F)} פשוטה, החבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{SL}_n(F)} היא קוואזי־פשוטה, והחבורה ${\displaystyle \ \operatorname {PGL} _{n}(F)}$ כמעט פשוטה.