חבורות ההומוטופיה

תכונות בסיסיות

ראשית, (באופן כללי) על עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_0(X,a)} לא ניתן להגדיר מבנה טבעי של חבורה. קבוצה זו מזוהה באופן טבעי עם מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב. מאידך, למשל במקרה של חבורת לי, ההומוטופיה האפס היא חבורת המנה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G/G_0} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle G_{0}} הוא רכיב הקשירות של היחידה.

כאמור לעיל, לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \geq 1} על ${\displaystyle \pi _{n}(X,a)}$ יש מבנה טבעי של חבורה. עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \geq 2} חבורה זו היא אבלית. כדי להוכיח זאת, יש להביט בהעתקות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g : [0,1]^n \to X} , לכווץ אותן מעט, לסובב ואז להרחיב חזרה (מה שלא אפשרי במקרה החד ממדי).

הבחנה חשובה נוספת היא שבחבורת הומוטופיה כללית, בניגוד לחבורה היסודית, יש משמעות לנקודת הבסיס, גם במרחבים קשירים מסילתית (על אף שהן איזומורפיות). במרחב פשוט קשר אפשר שלא להתייחס לנקודת הבסיס לכל חבורות ההומוטופיה.

שקילות הומוטופית חלשה ומשפט וייטהד

כאמור לעיל, חבורת הומוטופיה ספציפית נותנת מידע חלקי בלבד על המרחב. על כן, מגדירים יחס חלש יותר - שני מרחבים נקראים שקולים הומוטופית במובן החלש אם קיימת ביניהם העתקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: X \to Y} , המכונה שקילות הומוטופית חלשה, כזו שלכל ${\displaystyle n}$ ההעתקה ${\displaystyle f_{*}:\pi _{n}(X,a)\to \pi _{n}(Y,f(a))}$ הנתונה על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_*(\phi) = f \circ \phi} היא איזומורפיזם חבורות.

המשפט הבא הוא משפט חזק מאד הנותן מידע מלא על טיפוס ההומוטופיה בעזרת חבורות ההומוטופיה:

משפט וייטהד: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: X \to Y} שקילות הומוטופית חלשה בין מרחבי CW קשירים מסילתית, אז ${\displaystyle f}$ היא שקילות הומוטופית בין המרחבים.

הדרישה שתהיה פונקציה ${\displaystyle f}$ אחת שמקיימת את תנאי המשפט היא הכרחית - גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, לא מובטחת שקילות הומוטופית.

מרחב אספרי ומרחב אילנברג-מקליין

מרחב אספרי (Aspherical space) הוא מרחב שכל חבורות ההומוטפיה ${\displaystyle \pi _{n}(X,a)}$ טריוויאליות עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \geq 2} . כל מרחב בעל מרחב כיסוי אוניברסלי כוויץ (למשל, טורוס) הוא מרחב אספרי. במרחבי CW גם ההפך נכון - מרחב CW הוא אספרי אם ורק אם מרחב כיסוי האוניברסלי שלו (שתמיד קיים) הוא מרחב כוויץ.

מינוח כללי יותר הוא מרחב אילנברג-מקליין - זהו מרחב בו יש רק חבורת הומוטופיה אחת לא טריוויאלית. לכל חבורה ${\displaystyle \pi }$ ומספר טבעי ${\displaystyle n}$, מסמנים ב-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K(\pi ,n)} מרחב אילנברג-מקליין בעל חבורת הומוטופיה ${\displaystyle \pi }$ מסדר ${\displaystyle n}$. למשל, המעגל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1} הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)} , המרחב הפרויקטיבי הממשי האינסופי ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ הוא מרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K(\mathbb{Z}_2,1)} . מרחב כזה לא תמיד קיים, אך משפט חשוב קובע כי לכל חבורה אבלית ${\displaystyle \pi }$ ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>1} קיים מרחב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K(\pi ,n)} יחיד כד כדי שקילות הומוטופית. בנייה זו נעשית על ידי מרחב מור ומערכת פוסטניקוב.

מספר תוצאות

בעזרת כלים שונים מתורת ההומוטופיה, כמו חבורות ההומוטופיה היחסיות, קומפלקסים, אגדי סיבים וכלים נוספים, ניתן להוכיח את התוצאות הבאות:

• ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n},*)=\mathbb {Z} }$
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall m<n: \pi_m(S^n,*)=0}
• ${\displaystyle \forall m<2n-1:\pi _{m}(S^{n},*)\cong \pi _{m+1}(S^{n+1},*)}$
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_3(S^2,*) = \mathbb{Z}}
• המרחב הפרויקטיבי מעל הממשיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_m(\mathbb{R}P^n,*) = \pi_m(S^n,*)}
• המרחב הפרויקטיבי מעל המרוכבים : עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi _{2}(\mathbb {C} P^{n},*)=\pi _{2}(S^{2n+1},*)\oplus \mathbb {Z} ;\forall m>2:\pi _{m}(\mathbb {C} P^{n},*)=\pi _{m}(S^{2n+1},*)}
• המרחב הפרויקטיבי מעל הקווטרניונים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi_m(\mathbb{H}P^n,*) = \pi_m(S^{4n+3},*) \oplus \pi_{m-1}(S^3,*)}
• אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מרחב CW בעל עם תא אפס ממדי אחד (כלומר, קשיר מסליתית), ומכל שאר הממדים לפחות ${\displaystyle n}$ תאים, אז ${\displaystyle \forall m<n:\pi _{m}(X,*)=0}$.