חבורת האיזומטריות

בטופולוגיה, חבורת האיזומטריות של מרחב מטרי היא חבורת ההעתקות ההפיכות מהמרחב אל עצמו, אשר משמרות מרחק -- הנקראת גם איזומטריות. חבורה זו מכילה את המידע אודות הסימטריות של המרחב, ובעזרתה ניתן ללמוד על המבנה שלו.

הגדרה

בהינתן מרחב מטרי ${\displaystyle (M,d)}$, איזומטריה של ${\displaystyle M}$ היא העתקה ${\displaystyle \phi :M\to M}$, חח"ע ועל, אשר משמרת מרחקים: ${\displaystyle d(x,y)=d\left(\phi (x),\phi (y)\right)}$.

קל להיווכח בכך שהרכבה של שתי איזומטריות והפכית של איזומטריה גם הן איזומטריות. על כן, אוסף האיזומטריות של מרחב נתון מהווה חבורה, המכונה חבורת האיזומטריות של המרחב ${\displaystyle M}$.

דוגמאות

• חבורת האיזומטריות של ספירה הנה החבורה האורתוגונלית (O(3.
• חבורת האיזומטריות של המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (עם המרחק הרגיל בין מספרים) הנה החבורה הדיהדרלית האינסופית.
• חבורת האיזומטריות של מרחב מינקובסקי הנה חבורת פואנקרה.