פונקציה על

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה מקבוצה A לקבוצה B היא על אם כל איבר בקבוצה B מתקבל כערך של הפונקציה. לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל עלה את העץ שעליו הוא צומח היא "על", אם על כל עץ צומח עלה אחד לפחות.

באופן פורמלי: פונקציה ${\displaystyle \ f:X\rightarrow Y}$ היא על Y, אם לכל איבר בטווח (Y) של הפונקציה מתאים לפחות איבר אחד בתחום (X) שלה (ובמילים אחרות: התמונה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f } שווה לטווח שלה). בסימון מתמטי: לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \in Y } קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in X } כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ f(x)=y} . במקרה זה לעיתים מסמנים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : X \twoheadrightarrow Y} כדי לציין ש-f היא על.

קיומה של התכונה תלוי בטווח עליו מוגדרת הפונקציה: כך למשל, הפונקציה המתאימה לכל אדם את אמו היא על אם הטווח הוא קבוצת הנשים שיש להן ילדים, אבל לא על אם הטווח שלה מוגדר כקבוצת כל הנשים (כי יש נשים שאין להן ילדים). מסיבה זו, מקובל לציין שפונקציה היא על קבוצה מסוימת (שפירושו: אם קבוצה זו תילקח כטווח הפונקציה, יתקיימו הדרישות לפונקציה על).

דוגמאות ודוגמאות נגד

• הפונקציה המתאימה לכל מצביע בבחירות 2006 את המפלגה שעבורה הצביע היא על קבוצת המפלגות שהתמודדו בבחירות אלה, כי לכל מפלגה הצביע לפחות אדם אחד (לא היו מפלגות שזכו לאפס קולות).
• תהי ${\displaystyle \ f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה ${\displaystyle \ f(x)=2x+1}$ לכל x ממשי. פונקציה זו היא "על", משום שלכל ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ f({\frac {y-1}{2}})=y} .
• לעומת זאת, הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}} המוגדרת להיות ${\displaystyle \ g(x)=x^{2}}$ אינה על, כיוון של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y=-1} , למשל, לא קיים מקור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x } ממשי המקיים את המשוואה ${\displaystyle \ x^{2}=-1}$.
• תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+0}} (פונקציה מקבוצת הממשיים לקבוצת הממשיים האי שליליים) המוגדרת באותה צורה, אזי ${\displaystyle \ h}$ היא על, כיוון שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x } ממשי אי שלילי קיים המקור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt x } .

תכונות

עבור קבוצות סופיות, אם קיימת פונקציה מקבוצה A לקבוצה B שהיא על, אזי מספר האיברים ב-B קטן או שווה למספר האיברים ב-A. אם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית, אזי מספר האיברים ב-A קטן או שווה למספר האיברים ב-B ואם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל, אזי מספר האיברים ב-A שווה למספר האיברים ב-B.

על הבסיס הזה בנה גאורג קנטור שיטה להשוות קבוצות אינסופיות, המהוות נושא מרכזי בתורת הקבוצות. קנטור הציג את המושג עוצמה כך ששתי קבוצות שיש ביניהן פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל הן שוות עוצמה.

אפימורפיזמים

בתורת הקטגוריות, מורפיזם ${\displaystyle \,f:X\rightarrow Y}$ נקרא אפימורפיזם אם לכל אובייקט Z ולכל זוג מורפיזמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,g,h:Y\rightarrow Z} מתקיים שאם ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ אז g=h. בקטגוריה של קבוצות, המושגים פונקציה על ואפימורפיזם מתלכדים, אך יש קטגוריות, כגון הקטגוריה של חוגים, שבהן יש אפימורפיזמים שאינם פונקציות על.

ראו גם

• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים