חוג בעל מספר בסיס קבוע

בתורת החוגים, אומרים שחוג הוא בעל מספר בסיס קבוע, ובקיצור נאמר שהחוג מקיים IBN (מאנגלית: Invariant basis number) אם הממד של המודולים החופשיים מעליו מוגדר היטב. משפחות מוכרות ורחבות של חוגים מקיימות IBN.

הגדרה

יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג נתון. אז לכל מספר טבעי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} , המבנה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^n} הינו מודול שמאלי מעל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . אומרים ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} מקיים IBN אם לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n \in \mathbb{N}} כך שמתקיים ${\displaystyle R^{m}\cong R^{n}}$ (בתור מודולים שמאליים), מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=n} - כלומר כאשר הממד של כל מודול חופשי נוצר סופית מעל החוג קבוע על מחלקות איזומורפיזמים.

הגדרה שקולה, בשפה של מטריצות - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} מקיים IBN אם ורק אם לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n \in \mathbb{N}} ולכל שתי מטריצות ${\displaystyle A\in M_{m,n}(R),B\in M_{m,n}(R)}$ המקיימות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB=I_n , BA=I_m} , מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=n} . בפרט, היות שהגדרה זו לא תלויה במודול שמאלי או ימני, אפשר להחליף בהגדרה לעיל "שמאלי" ב"ימני".

תכונות

ראשית, כל שדה מקיים IBN - זוהי למעשה הטענה מאלגברה לינארית על (קיום ו)יחידות מרחב וקטורי מכל ממד טבעי.

אם חוג עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} אינו מקיים IBN, אז גם כל מנה אמתית שלו (ולכן גם כל תמונה הומומורפית לא אפס שלו): שכן אם ${\displaystyle R^{n}{\overset {f}{\cong }}R^{m}}$ עבור ${\displaystyle m\neq n}$, אז לוקחים בסיס סטנדרטי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{e_1,\dots,e_n\}} של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^n} , ומכך שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall i_j \in I: f(\sum{i_j e_j}) = \sum{i_j f(e_j)} \in I^m} (כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} אידאל), מושרה איזומורפיזם ${\displaystyle {\bar {f}}:(R/I)^{n}\to (R/I)^{m}}$, ו-${\displaystyle m\neq n}$.

לכן, אם לחוג יש מנה המקיימת IBN, אז גם החוג מקיים את התנאי. כמסקנה מכך, כל חוג קומוטטיבי מקיים IBN - שכן (לפי הלמה של צורן) יש לו אידאל מקסימלי והמנה היא שדה, שכאמור מקיים IBN.

כל חוג נתרי, חוג ארטיני, חוג עם חילוק, חוג עם זהויות וחוג מקומי למחצה מקיים את IBN.

כל חוג סופי באופן חלש (weakly finite) (כלומר חוג שבו לכל שתי מטריצות ריבועיות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB=I} גורר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BA=I} ) מקיים IBN. זהו תנאי מעט חזק יותר מהתנאי לעיל.

אם חוג מקיים IBN, גם כל חוג מטריצות מעליו מקיים IBN, אבל התכונה אינה נשמרת על ידי שקילות מוריטה.

חוג שלא מקיים IBN

לא כל חוג מקיים את התנאי -- למשל חוג האנדומורפיזמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=\operatorname{End}(V)} של מרחב וקטורי מממד בן מנייה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} איננו מקיים את התנאי: מתקיים ${\displaystyle R\cong R^{2}}$, שכן אפשר ליצור בעזרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} וקטורי הבסיס של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2*\aleph_0=\aleph_0} וקטורי הבסיס של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V \oplus V} . למעשה מתקיים ${\displaystyle R^{n}\cong R^{m}}$ לכל שני טבעיים.

ראו גם

• חוג סופי באופן חלש

לקריאה נוספת