חוג ויט

באלגברה מופשטת, חוג ויט (Witt Ring) של שדה F הוא החוג WF שאיבריו הם המרחבים הריבועיים מעל השדה, עד כדי שקילות ויט, יחד עם הפעולות המושרות על ידי הסכום הישר והמכפלה הטנזורית. חוג ויט ממיין את המרחבים הריבועיים האנאיזוטרופיים (מממד סופי) מעל השדה.

לאידיאל הראשי IF של חוג ויט WF, הכולל את התבניות מממד זוגי, והחזקות שלו, חשיבות רבה בתורת המבנה. השערת מילנור מקשרת את המנות ${\displaystyle \ I^{n}F/I^{n+1}F}$ לתורת K. תורת השדות הסדורים מספקת מידע על אידיאל הפיתול של חוג ויט.

המונח נקרא על שמו של המתמטיקאי ארנסט ויט, שעסק רבות בתורת התבניות הריבועיות.

תבניות ריבועיות

אם לא נאמר אחרת במפורש, ${\displaystyle F}$ הוא שדה ממאפיין שונה מ-2.

תבנית ריבועית מעל ${\displaystyle F}$ היא הפונקציה ${\displaystyle \ q(x)=b(x,x)}$, כאשר ${\displaystyle \ b:V\times V\rightarrow F}$ היא תבנית ביליניארית על מרחב (מממד סופי) V. מרחב וקטורי יחד עם תבנית ריבועית נקרא מרחב ריבועי ${\displaystyle (V,q)}$. מרחב ריבועי נקרא אנאיזוטרופי, אם ${\displaystyle q(x)=0}$ רק ל-${\displaystyle x=0}$. בחירת בסיס למרחב V מאפשרת להציג את התבנית כפולינום הומוגני מדרגה 2. יתרה מזאת, במאפיין שונה מ-2 ניתן לבחור הצגה אלכסונית - ${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{2}}$, ואז מסמנים ${\displaystyle q=\langle a_{1},...,a_{n}\rangle }$.

המרחב הריבועי הדו ממדי ${\displaystyle q=\langle 1,-1\rangle }$ נקרא מישור היפרבולי, ומסומן ${\displaystyle \mathbb {H} }$. סכומים של עותקים שלו נקראים מרחב היפרבולי. לפי משפט, כל מרחב ריבועי ${\displaystyle (V,q)}$ אפשר להציג בצורה - ${\displaystyle V=0\perp \mathbb {H} ^{m}\perp V'}$ - חלק רדיקלי, חלק היפרבולי וחלק אנאיזוטרופי (לפרטים המלאים ראו בערך תבנית ריבועית).

משפט הצמצום של ויט קובע כי אם ${\displaystyle V\perp \mathbb {H} ^{m}\cong V'\perp \mathbb {H} ^{m}}$ אז ${\displaystyle V\cong V'}$, ולכן החלק האנאיזוטרופי של מרחב מוגדר היטב.

הגדרה

שני מרחבים ריבועיים ${\displaystyle V,V'}$ נקראים שקולים לפי ויט אם יש להם אותו חלק אנאיזוטרופי, כלומר אם יש ${\displaystyle n\geq 0}$ כך ש-${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\perp V\cong V'}$. מחלקת השקילות של כל מרחב אנאיזוטרופי V היא ${\displaystyle [V]=\{V\perp \mathbb {H} ^{n},n\geq 0\}}$.

חוג ויט של השדה, המסומן ${\displaystyle W(F)}$, הוא החוג בו:

• האיברים הם מחלקות השקילות של היחס הנ"ל.
• החיבור הוא סכום ישר של מרחבים. מפורשות - ${\displaystyle [\langle a_{1},...,a_{n}\rangle ]\perp [\langle b_{1},...,b_{m}\rangle ]=[\langle a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{m}\rangle ]}$. איבר האפס הוא המחלקה של מישור היפרבולי.
• הכפל הוא מכפלה טנזורית של מרחבים ריבועיים. מפורשות, ${\displaystyle [\langle a_{1},...,a_{n}\rangle ]\otimes [\langle b_{1},...,b_{m}\rangle ]=[\langle ...a_{i}b_{j}...\rangle ]}$. איבר היחידה הוא ${\displaystyle [\langle 1\rangle ]}$.

פעולות אלו מוגדרות היטב, והופכות את ${\displaystyle W(F)}$ לחוג קומוטיבי.

כחבורה חיבורית, חוג ויט נוצר על ידי האיברים מהצורה ${\displaystyle \langle a\rangle }$. שתי תבניות כאלה הן שקולות אם ורק אם הסקלרים המגדירים אותן שקולים עד כדי ריבועים, כלומר שייכות לאותה מחלקה ב-${\displaystyle F^{\times }/F^{{\times }^{2}}}$.

דוגמאות

• חוג ויט של שדה סגור אלגברית הוא ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, זאת משום ש-${\displaystyle \langle 1\rangle \cong \langle -1\rangle }$, כלומר ${\displaystyle \langle 1,1\rangle =0}$. בפרט, ${\displaystyle W(\mathbb {C} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.
• חוג ויט של שדה סגור ממשית הוא ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. ניתן לבנות איזומורפיזם מפורש, על ידי סימן סילבסטר (ראו בפירוט בהמשך). בפרט, ${\displaystyle W(\mathbb {R} )=\mathbb {Z} }$.
• לשדה סופי מסדר ${\displaystyle q}$ (כאמור ממאפיין שונה מ-2) חוג ויט התלוי בהתחלקות הסדר ב-4:

• אם ${\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle W(F)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} } .
• אם ${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle W(F)=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[t]/(t-1)^{2}}

העתקת הצמצום

תהי ${\displaystyle K/F}$ הרחבת שדות. כל תבנית ריבועית מעל ${\displaystyle F}$ היא גם תבנית מעל ${\displaystyle K}$.

פורמלית, העתקת הצמצום (restriction map) היא ההעתקה ${\displaystyle res_{K/F}:W(F)\rightarrow W(K)}$ המוגדרת על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle res_{K/F}[(V,q)]=[(V \otimes K,q_{K})]} , כאשר ${\displaystyle q_{K}(v\otimes a)=a^{2}q(v)}$. נסמן בקיצור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_{K}=res_{K/F}(q)} ; זהו הומומורפיזם של חוגים. כלומר, שיכון של שדות עובר להומומורפיזם של חוגים, ההופך בשפה קטגורית את ההתאמה של שדה לחוג ויט שלו לפונקטור בין קטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים.

העתקת הצמצום יכולה להעביר תבנית אנאיזוטרופית לתבנית איזוטרופית ואף לתבנית היפרבולית. כעת נראה מהן תכונות ההעתקה.

כל הרחבת שדות ניתן לפרק ל מרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי מהצורה ${\displaystyle F\subseteq F_{1}\subseteq K}$. בנוגע לחלק הטרנסצנדנטי מתקיים:

משפט: אם ${\displaystyle F_{1}/F}$ הרחבה טרנסצנדנטית, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle res_{F_1/F}} מהווה שיכון חוגים (כלומר, היא חד חד ערכית).

בנוגע לחלק האלגברי, התאוריה מעט מסובכת יותר ותלויה בזוגיות ממד ההרחבה.

משפט: הגרעין של העתקת הצמצום של הרחבה ריבועית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K = F_1[\delta]} הוא האידיאל הנוצר על ידי ${\displaystyle \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle =\langle 1,-\delta ^{2}\rangle }$, כאשר ${\displaystyle \langle \langle \cdot \rangle \rangle }$ היא תבנית פיסטר.

כלומר, מתקבלת סדרה מדויקת: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W(F_1)\overset{\_ \cdot \langle \langle \delta^2 \rangle \rangle}{\longrightarrow}W(F_1)\overset{res_{K/F_1}}{\longrightarrow}W(K)} . כדי להשלים את הסדרה וכך ללמוד על תמונת העתקת הצמצום, מגדירים את העתקת הטרנספר - נגדיר ${\displaystyle s:K\rightarrow F_{1}}$ על ידי ${\displaystyle s(1)=0,s(\delta )=1}$, ונגדיר ${\displaystyle s_{*}:W(K)\rightarrow W(F_{1})}$ על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_*(q)(x)=s(q(x))} . מתקבלת הסדרה המדויקת: ${\displaystyle W(F_{1}){\overset {\_\cdot \langle \langle \delta ^{2}\rangle \rangle }{\longrightarrow }}W(F_{1}){\overset {res_{K/F_{1}}}{\longrightarrow }}W(K){\overset {s_{*}}{\longrightarrow }}W(F_{1})}$, ולכן התבנית ${\displaystyle [q]\in W(K)}$ היא צמצום של תבנית מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W(F_1)} אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(q)} היפרבולית.

בממד אי זוגי מתקיים:

משפט שפרינגר: אם ${\displaystyle F_{1}/F}$ הרחבה ממד אי זוגי, אז אם התבנית ${\displaystyle q}$ אנאיזוטרופית מעל ${\displaystyle F}$, כך גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_{K}} . בפרט, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle res_{K / F_1}} חד-חד-ערכית.

האינווריאנטים הראשונים

אחת השאלת המרכזיות על חוג ויט היא מחקר החזקות של האידיאל היסודי, הכולל את התבניות מממד זוגי.

פורמלית, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dim:W(F) \rightarrow \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}} מתאימה לכל מרחב ריבועי את זוגיות הממד שלו, מסמנים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I(F)=ker(dim)} . כלומר, ${\displaystyle I(F)}$ הוא אוסף מחלקות השקילות של תבניות מסדר זוגי. זוגיות הממד מודולו 2 מוגדרת היטב, משום שכל מישור היפרבולי הוא מממד זוגי. האידיאל ${\displaystyle I(F)}$ נוצר על ידי כל התבניות מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle <a,b>} , או מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle 1,\frac{b}{a}\rangle =\langle 1,-c \rangle=\langle \langle c \rangle \rangle} , כאשר ${\displaystyle \langle \langle \cdot \rangle \rangle }$ היא תבנית פיסטר.

כעת, מגדירים ${\displaystyle \forall n\geq 2:I^{n}(F)=I^{n-1}(F)\cdot I}$. הם נוצרים על ידי מכפלת ${\displaystyle n}$ תבניות פיסטר דו-ממדיות, כלומר מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \langle c_1,...,c_n\rangle \rangle:=\langle \langle c_1\rangle \rangle \otimes ... \otimes \langle \langle c_n \rangle \rangle} .

אנו מתעניינים בשרשרת האידיאלים ${\displaystyle W({F})\supseteq I(F)\supseteq {I}^{2}(F)\supseteq ...}$ והמנות שלהם. נסקור את מבנה המנות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I^n(F) / I^{n+1}(F)} עבור ${\displaystyle n}$ קטן, ונציג את האינווריאנטים הראשונים. בתת-הנושא הבא נראה את התורה הכללית.

האינווריאנטים הגבוהים ותורת K

כעת נציג את התורה הכללית ואת מבנה המנות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I^n(F) / I^{n+1}(F)} הקשורה לתורת K.

לכל חוג ${\displaystyle R}$ מותאמת חבורה אבלית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_n(R)} , הנקראת חבורת ${\displaystyle K}$ ה-${\displaystyle n}$ית של מילנור. זוהי החבורה האבלית החופשית בסמלים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \{a_{1},...,a_{n}\}} , יחד עם היחסים:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_1,...,a_i a_{i'},...a_n)=(a_1,...,a_i ,...a_n)+(a_1,...,a_{i'},...a_n)}
• ${\displaystyle (...a,..,1-a,...)=0}$.

נסמן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle k_{n}(F)\cong K_{n}(F)/2K_{n}(F)} .

כעת, השערת מילנור טוענת כי ${\displaystyle I^{n}(F)/I^{n+1}(F)\cong k_{n}(F)}$. העתקת האיזומורפיזם היא ${\displaystyle f_{n}:k_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F)}$, הנתונה על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n(a_1,...,a_n)=\langle \langle a_1,...,a_n\rangle \rangle} , כאשר ${\displaystyle \langle \langle \cdot \rangle \rangle }$ היא תבנית פיסטר.

קל לראות את קיום הטענה לעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=0,1} : עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_0(F)} היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל הריק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ()} , ולכן היא בדיוק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_0(F)=\mathbb{Z}} . עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K_1(F)} היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \{a\}} , עם היחס ${\displaystyle {aa'}={a}+{a'}}$, והיא בדיוק ${\displaystyle K_{1}(F)=F^{\times }}$.

טיעונים יותר מסובכים מראים כי גם במקרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2} ההגדרות מסתדרות (ראו בקריאה נוספת לפרטים מדויקים).

חוג ויט ושדות סדורים

תורת השדות הסדורים קשורה הדוקות לחוג ויט.

שדה סדור הוא שדה בו ניתן להציב קבוצת חיוביים ${\displaystyle P}$ הסגורה לחיבור וכפל, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^\times = P \cup -P} . כל שדה סדור הוא ממאפיין אפס. שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי בו הוא ריבוע של איבר אחר. שדה הוא סגור ממשית אם הוא אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי זוגית בו יש שורש.

שדה נקרא ניתן לסידור אם ניתן להגדיר עליו סדר. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה ניתן לסידור אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} איננו סכום של ריבועים, ולכל איבר ${\displaystyle a}$ שאינו סכום של ריבועים יש סדר בו ${\displaystyle a<0}$. שדה הוא פיתגורי אם כל ריבוע איבר בו הוא סכום של שני ריבועים.

ייצוגים על ידי יוצרים ויחסים

השערת מילנור שנסקרה לעיל מספקת יצוג באמצעות יוצרים ויחסים לכל המנות ${\displaystyle \ I^{n}F/I^{n+1}F}$. עבור ערכים נמוכים של n ידוע יצוג כזה גם לאידיאלים ${\displaystyle \ I^{n}F}$ עצמם

• חוג ויט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W F} נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הביליניאריות החד-ממדיות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle a\rangle} (לכל a שונה מאפס), עם היחסים ${\displaystyle \ \langle 1\rangle +\langle -1\rangle =0}$, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle ab^2 \rangle = \langle a\rangle} , ו-${\displaystyle \ \langle a\rangle +\langle b\rangle =\langle a+b\rangle +\langle ab(a+b)\rangle }$ המתארים את החלק האדיטיבי, והיחס ${\displaystyle \ \langle a\rangle \langle b\rangle =\langle ab\rangle }$ המגדיר את פעולת הכפל.
• האידיאל היסודי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I^1F} נוצר על ידי תבניות פיסטר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle \langle a \rangle \rangle} (לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a \neq 0} ) עם היחסים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \langle \langle 1 \rangle \rangle = 0} , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle\langle ab^2 \rangle\rangle = \langle\langle a\rangle\rangle} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle \langle a \rangle \rangle + \ \langle \langle b \rangle \rangle = \ \langle \langle a+b \rangle \rangle + \ \langle \langle ab(a+b) \rangle \rangle} כל אימת ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+b \neq 0} .
• ריבוע האידיאל היסודי, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I^2F} נוצר כחבורה חיבורית על ידי התבניות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \langle \langle a,b\rangle \rangle } (לכל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ a,b\neq 0} ) עם היחסים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ \langle \langle 1,1 \rangle \rangle = 0} ; עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle \langle a,b \rangle \rangle = \langle \langle c,d \rangle \rangle} אם התבניות איזוטרופיות; ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle \langle ab,c \rangle \rangle + \ \langle \langle a,b \rangle \rangle = \ \langle \langle a,bc \rangle \rangle + \ \langle \langle b,c \rangle \rangle} .

מודול ויט במאפיין 2

במאפיין שונה מ-2 אפשר לזהות תבניות ריבועיות וביליניאריות. במאפיין 2 הקשר בין שני סוגי התבניות מסובך יותר, ולכן נחזור על ההגדרה של חוג ויט במקרה הכללי, התקף גם במאפיין 2. חוג ויט הוא חוג-גרותנדיק של התבניות ה*ביליניאריות* הסימטריות הלא-מנוונות, מודולו תבניות היפרבוליות. כל תבנית ביליניארית סימטרית אנאיזוטרופית מתאימה לאיבר יחיד בחוג ויט. תבנית ביליניארית שקולה בחוג ויט לאפס, אם ורק אם היא מטאבולית.

המודול של ויט, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_q(F)} , הוא חבורת גרותנדיק של המונויד של התבניות ה*ריבועיות* הלא-מנוונות מממד זוגי, מודולו המרחבים ההיפרבוליים. המודול נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הדו-ממדיות ${\displaystyle \ [a,b]}$ (המייצגות את התבניות ${\displaystyle \ q(x_{1},x_{2})=ax_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+bx_{2}^{2}}$). כחבורה אבלית, הוא מוגדר על ידי היחסים ${\displaystyle \ [a,b]+[a,c]=[a,b+c]}$, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,bc^2] = [ac^2,b]} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a,ac^2+c] = 0} . פעולת הכפל בסקלר מושרית על ידי המכפלה הטנזורית של תבניות, ואפשר להגדיר אותה גם על ידי הפעולה של יוצרים על יוצרים, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \langle c\rangle [a,b]=[ca,c^{-1}b]} . מודול ויט נוצר, כמודול מעל חוג ויט, על ידי תבניות פיסטר הריבועיות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \langle \langle a ]] = [1,a]} .

על המודול של ויט מוגדר אינווריאנט ארף , לפי ${\displaystyle \ \operatorname {Arf} ([a_{1},b_{1}]\perp \cdots \perp [a_{n},b_{n}])=\sum a_{i}b_{i}\in F/\wp {F}}$, כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \wp{F} = \{c^2+c : c \in F\}} . הגרעין של אינווריאנט ארף הוא ${\displaystyle \ I_{q}^{2}(F)=I(F)\cdot I_{q}(F)}$. ייצוג של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I^2_qF} עם היוצרים ${\displaystyle \ [[a,b]]=[[a]]\otimes [[ab\rangle \rangle }$ נתון על ידי היחסים הבאים: הסמל בי-אדיטיבי וסימטרי; עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [[a,1]] = 0} ; ${\displaystyle \ [[a,bc^{2}]]=[[ac^{2},b]]}$; ${\displaystyle \ [[a,ac^{2}]]=[[a,c]]}$ . באופן כללי מסמנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I_q^n(F) = I(F)^{n-1}I_q(F)} .

ראו גם

• תבנית ריבועית
• תבנית פיסטר
• תורת האינווריאנטים
• תורת K
• שדה סדור

לקריאה נוספת

• עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.
• Pete L. Clark, Quadratic forms over fields II: Structure of the Witt Ring