הרחבת שדות

באלגברה ובעיקר בתורת השדות, הרחבה של שדות מתארת מצב שבו שדה אחד מכיל שדה אחר, באופן שפעולות החיבור והכפל בשדה הגדול מסכימות עם אלו המוגדרות בשדה הקטן. השדה הקטן נקרא שדה הבסיס.

לאמירה שהשדה הקטן הוא תת שדה של השדה הגדול יש אותה משמעות; מתייחסים להכלה ${\displaystyle \ F\subseteq K}$ של שדות כאל הרחבה כאשר הדגש הוא על האופן שבו נבנה השדה הגדול ${\displaystyle \,K}$ מן השדה הקטן ${\displaystyle \,F}$, וכאל תת שדה במקרה ההפוך, שבו רוצים להבדיל את אברי ${\displaystyle \,F}$ משאר האברים של ${\displaystyle \,K}$. זוהי הבחנה מתודית בלבד, ואין לה משמעות מתמטית.

את ההרחבה ${\displaystyle \ F\subseteq K}$ מסמנים לפעמים בסימון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} .

הרחבה היא בדרך כלל תהליך אלגברי, שבו מוסיפים לשדה הבסיס ${\displaystyle \,F}$ איברים חדשים. יש דרכים אחרות לבנות הרחבות, כאשר שדה הבסיס מצויד במבנה נוסף, כגון סדר או הערכה – ראו השלמה של שדה.

דוגמאות

להלן כמה דוגמאות להרחבות של שדות; המושגים יוסברו בהרחבה בהמשך.

• ${\displaystyle \ \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, הרחבה פשוטה מממד 2.
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}=\mathbb{R}(\sqrt{-1})} , הרחבה פשוטה מממד 2.
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\cos 20^{\circ})} , הרחבה פשוטה מממד 3 (ראו שילוש זווית).
• ההרחבה של שדה המספרים האלגבריים מעל הרציונליים - אלגברית, אבל אינה נוצרת סופית.
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}} – הרחבה זו אינה אלגברית, ואינה נוצרת סופית.
• אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \overline{F}} הוא הסגור האלגברי של ${\displaystyle \,F}$, אז ההרחבה ${\displaystyle \ F\subseteq {\overline {F}}}$ אלגברית, אבל בדרך כלל אינה נוצרת סופית.
• אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_{\mbox{sp}}} הוא הסגור הספרבילי של ${\displaystyle \,F}$, אז ההרחבה הראשונה בשרשרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\subseteq F_{\mbox{sp}} \subseteq \overline{F}} היא ספרבילית, והשנייה היא לא-ספרבילית טהורה.
• שדה הפונקציות הרציונליות ${\displaystyle \ F(x)}$ הוא הרחבה טרנסצנדנטית פשוטה של ${\displaystyle \,F}$.
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{F}_3(t)[x]/\langle x^3-x-t\rangle} היא הרחבת גלואה מממד 3 של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \mathbb {F} _{3}(t)} .
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{F}_3(t)[x]/\langle x^3-t\rangle = \mathbb{F}_3(t^{1/3})} היא הרחבה לא-ספרבילית פשוטה מממד 3 של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \mathbb {F} _{3}(t)} .

יוצרים של הרחבה

לכל הרחבה יש קבוצת יוצרים: תת-קבוצה ${\displaystyle \,S}$ של ${\displaystyle \,K}$ היא קבוצת יוצרים של ההרחבה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} , אם אפשר לקבל כל איבר של ${\displaystyle \,K}$ באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) מן האברים ב-${\displaystyle \,S}$ והמקדמים ב-${\displaystyle \,F}$. במקרה זה אין אף תת-שדה המכיל את ${\displaystyle \,F}$ ואת ${\displaystyle \,S}$, מלבד ${\displaystyle \,K}$ עצמו, כלומר K הוא השדה המינימלי שמכיל גם את השדה F וגם את איברי S; כותבים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=F(S)} , ואם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S=\{a_1,\dots,a_n\}} כותבים גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K=F(a_1,\dots,a_n)} . אם ${\displaystyle \,F}$ תת-שדה של שדה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,E} המכיל גם קבוצת איברים ${\displaystyle \,S}$, אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ F(S)} הוא תת-השדה הקטן ביותר של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,E} המכיל את ${\displaystyle \,F}$ ואת ${\displaystyle \,S}$.

מבחינים בין כמה סוגים של הרחבות. ראשית, ההרחבה נוצרת סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית, ואינה נוצרת סופית אם אין לה קבוצת יוצרים כזו. אם ${\displaystyle \,F}$ שדה אינסופי וההרחבה נוצרת סופית (או אפילו נוצרת על ידי קבוצה בת מנייה), אז העוצמה של ${\displaystyle \,K}$ שווה לזו של ${\displaystyle \,F}$. לדוגמה, כיוון שהעוצמה של שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ גדולה מזו של שדה המספרים הרציונליים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} , ההרחבה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}/\mathbb{Q}} אינה נוצרת סופית.

אלגבריות וממד

שדה-הרחבה K הוא תמיד מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס, כאשר פעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל בשדה הגדול (מצומצמת מפעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K\times K\rightarrow K} לפעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F\times K\rightarrow K} ). בפרט, יש להרחבה ממד ${\displaystyle \ [K:F]=\dim _{F}K}$, שהוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות שימושית: אם ${\displaystyle \ F\subseteq K\subseteq E}$, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [E:K][K:F]=[E:F]} .

איבר a של K הוא איבר אלגברי אם קיים פולינום בעל מקדמים ב-${\displaystyle \,F}$, אשר a הוא שורש שלו. אם כל האיברים של K הם אלגבריים, אומרים שההרחבה היא הרחבה אלגברית. כל הרחבה אלגברית נוצרת סופית היא בעלת ממד סופי, וכל הרחבה בעלת ממד סופי היא הרחבה אלגברית נוצרת סופית. לעומת זאת, קיימות הרחבות אלגבריות שאינן נוצרות סופית, כמו זו של שדה המספרים הניתנים לבנייה מעל הרציונליים, או של הסגור האלגברי של שדה סופי, מעל השדה.

אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S \sub K} היא תת-קבוצה כלשהי, הסימון עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ F[S]} מתאר את תת-החוג הקטן ביותר של K המכיל את F ואת S (בהשוואה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ F(S)} , שהוא תת-השדה הקטן ביותר; כמובן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F[S]\subseteq F(S)} ). אם כל האיברים של הקבוצה S אלגבריים, אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ F[S]} הוא שדה, ובמקרה זה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(S)=F[S]} .

ספרביליות

בהרחבה אלגברית יש שני סוגים של אברים: אלו שהפולינום המינימלי שלהם ספרבילי, ואלו שאינם כאלה. אברים לא-ספרביליים יכולים להתקיים רק כאשר המאפיין של שני השדות הוא ראשוני, p. הרחבה שבה כל אברי K הם ספרביליים נקראת הרחבה ספרבילית של שדות; כל הרחבה במאפיין אפס היא ספרבילית, אבל יש גם הרחבות ספרביליות במאפיין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0<p} . למשל, כל הרחבה שבה השדה הגדול סופי היא ספרבילית. לפי משפט האיבר הפרימיטיבי, כל הרחבה ספרבילית נוצרת סופית היא הרחבה פשוטה (כלומר, אפשר להחליף מספר סופי של יוצרים ספרביליים ביוצר אחד).

חבורת האוטומורפיזמים

לכל הרחבה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K/F} אפשר להתאים את החבורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Aut}(K/F)} של האוטומורפיזמים של K השומרים על אברי F. חבורה זו היא בעלת חשיבות עליונה בחקירת ההרחבה, והיא נקראת חבורת גלואה של ההרחבה (אם כי לעיתים שומרים מונח זה רק לחבורות האוטומורפיזמים של הרחבות גלואה).

דוגמה. חבורת האוטומורפיזמים של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}/\mathbb{Q}} היא טריוויאלית. הסיבה היא שכל אוטומורפיזם (של המבנה האלגברי) חייב לשמור על תת-הקבוצה של הריבועים, ולכן על הסדר של השדה. מכאן נובע שהוא רציף, ולכן שומר על גבולות. אבל המספרים הרציונליים צפופים בממשיים, ולכן כל פונקציה רציפה שלא מזיזה את המספרים הרציונליים בהכרח גם לא תזיז את המספרים הממשיים.

ראו גם

• תורת גלואה
• הרחבת גלואה
• שדה פיצול
• אלגברה (מבנה אלגברי)
• מספר טרנסצנדנטי

לקריאה נוספת

הערות שוליים