טרינום

מקרה פרטי: טרינום ריבועי

בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית^[3]. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$.

במקרים אלו נחפש שני מספרים ${\displaystyle a_{1},\ a_{2}}$ המקיימים את השיוויונות ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}=ac,\ a_{1}+a_{2}=b}$.

שכן אז ניתן לפרק כך: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=ax^{2}+a_{1}x+a_{2}x+c=ax(x+{\frac {a_{1}}{a}})+a_{2}(x+{\frac {c}{a_{2}}})=(ax+a_{2})(x+{\frac {a_{1}}{a}})}$.

(השיוויון ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}=ac}$ גורר את השיוויון ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a}}={\frac {c}{a_{2}}}}$ ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף ${\displaystyle (x+{\frac {a_{1}}{a}})=(x+{\frac {c}{a_{2}}})}$).

לדוגמה, הפולינום ${\displaystyle x^{2}+3x+2}$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם ${\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}=-2}$. לפי הפירוק הטרינומי:

נחפש שני מספרים ${\displaystyle a_{1},\ a_{2}}$ שמקיימים את השיוויונות ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=3,\ a_{1}\cdot a_{2}=2}$. המספרים ${\displaystyle a_{1}=1,\ a_{2}=2}$ מקיימים את השיוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך: ${\displaystyle x^{2}+3x+2=x^{2}+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+2)(x+1)}$.

ונקבל מהפירוק שהשורשים של הפולינום הם ${\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}=-2}$.

דוגמה נוספת, הפולינום ${\displaystyle 3x^{2}-2x-5}$ הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ-1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם ${\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}}$. לפי הפירוק הטרינומי:

נחפש שני מספרים ${\displaystyle a_{1},\ a_{2}}$ שמקיימים את השיוויונות ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=-2,\ a_{1}\cdot a_{2}=-15}$, המספרים ${\displaystyle a_{1}=-5,\ a_{2}=3}$ מקיימים את השיוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

${\displaystyle 3x^{2}-2x-5=3x^{2}+3x-5x-5=3x(x+1)-5(x+1)=(3x-5)(x+1)}$.

ונקבל מהפירוק שהשורשים של הפולינום הם ${\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}}$.

אותה תוצאה יכולה להינתן על ידי חוק רופיני, אך עם תהליך מורכב וארוך יותר.