יחס (בין מספרים)

בדגל ישראל, היחס הרשמי בין האורך לרוחב הוא 8:11

יחס בין מספרים הוא המנה של חלוקתם זה בזה. יחס בין שני מספרים מיוצג באמצעות הפרדתם זה מזה באמצעות נקודתיים, למשל 3:4. דוגמה: בהרכב הכימי של המים, H₂O, היחס בין אטומי המימן לאטומי החמצן הוא 2:1. בדרך כלל מוצג יחס בין שני מספרים, אך ניתן להציג גם יחס בין שלושה מספרים ויותר. למשל, בהרכב הכימי של חומצה גופרתית, H₂SO₄, היחס בין האטומים הוא 2:1:4.

נהוג להציג יחס בין מספרים בצורתו המצומצמת. דוגמה: גובהו של יוסי 180 ס"מ, וגובהו של דני 120 ס"מ. היחס בין הגבהים שלהם הוא 180:120 כלומר 3:2. במידת האפשר מוצג היחס בין מספרים שלמים, ולכן בדוגמה הקודמת נעדיף את ההצגה 3:2 על-פני ההצגה 1.5:1. כאשר היחס הוא מספר אי-רציונלי, אי אפשר להציג את היחס במספרים שלמים. למשל בריבוע, היחס בין האלכסון לצלע הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2} : 1} .

משמעויות היחס

נתבונן ביחס בין א' לבין ב', היחס $2:3$ . יש לקרוא: היחס בין א' לבין ב' הוא יחס של שתיים לשלוש. סדר הכתיבה בעברית מימין לשמאל ואילו סדר הכתיבה בחשבון משמאל לימין ולכן יש להקפיד ולא להתבלבל: הראשון שמספרים עליו ביחס יהיה גם הראשון משמאל שנכתוב ביחס.

ליחס הזה 4 משמעויות:

על כל שתי יחידות שיקבל א' יקבל ב' 3 יחידות
מכל סכום שיחולק לפי היחס הזה יקבל א' עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{2}{5}} ו-ב' יקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{3}{5}}
א' קטן מ-ב' ב-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{3}}} של ב'
ב' גדול מ-א' ב- ${\frac {1}{2}}$ של א'

ידיעת היחס בין מספרים אינה מספקת מידע על גודלם של המספרים. בדוגמה של יחס של $2:3$ יכולה להתאים לארוחות מבצע במזללה שבה על כל קניית שתי ארוחות מוגדלות מקבלים שלוש ארוחות ילדים בחינם, אבל גם לסיפור שבו על כל 42 שחקני כדורסל בבית הספר יש 63 שחקני כדורגל.

הכמות הכוללת צריכה להתחלק שווה בשווה ללא שארית בסכום של המונה ושל המכנה בייצוג המצומצם. בדוגמה של $2:3$ סך הכמות שמייצג 2 ושמייצג 3 צריך להתחלק שווה בשווה וללא שארית ב-5 (כדי לאפשר שעל כל שתי יחידות של א' יהיו בדיוק 3 יחידות של ב')

יחסים נודעים

כאשר היחס הוא מהצורה a:1 נהוג להציגו בצורת a בלבד. יחסים נודעים אחדים מסוג זה הם:

הקבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi } (פאי): היחס הקבוע בין היקף מעגל לבין קוטרו.
יחס הזהב: שני גדלים מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. בנוסחה:

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}

ערכו של יחס הזהב הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887...}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2}} הוא היחס שבין האלכסון לצלע בריבוע.
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3}} הוא היחס שבין האלכסון הראשי בקובייה למקצוע של הקובייה.
הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות הן יחסים בין צלעותיו של משולש ישר-זווית. סינוס של זווית, למשל, שווה ליחס שבין הניצב שמול זווית זו ובין היתר.

ערך משולש

כאשר ידוע היחס בין זוג מספרים, וידוע לנו שיחס זה מתקיים גם בין מספר ונעלם, ניתן לחשב את הנעלם^[1].

כאשר נתונים משולשים דומים וידוע לנו אורך צלעותיו של משולש אחד, ורק אורך אחת מצלעותיו של המשולש האחר, נוכל לחשב, באמצעות ערך משולש, את אורכי הצלעות הנותרות. עניין זה מודגם בתלמוד: "והרוצה לידע כמה גובהו של דקל מודד קומתו וצלו וצל קומתו וידע כמה גובה של דקל" (תלמוד בבלי, מסכת ערובין, דף מג עמוד ב). נמחיש זאת: אדם, שגובהו 1.75 מטר, מודד ומגלה שאורך צלו 2.50 מטר, ואורך צלו של הדקל הוא 10 מטר. מה גובה הדקל? פתרון: מתקיים $\ 10:x=2.50:1.75$ . לפיכך עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ x={\frac {1.75\times 10}{2.50}}=7} מטר.

ראו גם

לקריאה נוספת

תלמה גביש, לחשוב להבין להצליח - פיתוח חשיבה מתמטית, קריית ביאליק: אח, 1998, ISBN 9652671436
מירה עופרן, שליש לחלק לרבע - המחשבה שמאחורי החישוב, אבן יהודה: רכס, 2005, ISBN 9654033967

הערות שוליים

↑ דוגמה: חנות מכריזה על מבצע שבו ניתנת הנחה בשיעור אחיד על כל מוצריה. קונה רואה מוצר שמחירו המקורי 50 ש"ח ונמכר במבצע ב-40 ש"ח, כמה יעלה במבצע מוצר שמחירו המקורי 60 ש"ח?
פתרון: ידוע לנו שהיחס בין המחיר במבצע למחיר המקורי הוא $\ 40:50$ , ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x:60 = 40:50} . לפיכך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = \frac {40 \times 60}{50} = 48}

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] דוגמה: חנות מכריזה על מבצע שבו ניתנת הנחה בשיעור אחיד על כל מוצריה. קונה רואה מוצר שמחירו המקורי 50 ש"ח ונמכר במבצע ב-40 ש"ח, כמה יעלה במבצע מוצר שמחירו המקורי 60 ש"ח?
פתרון: ידוע לנו שהיחס בין המחיר במבצע למחיר המקורי הוא $\ 40:50$ , ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x:60 = 40:50} . לפיכך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = \frac {40 \times 60}{50} = 48}