מחלק אפס

באלגברה, איברים שונים מאפס a,b של חוג שמכפלתם היא אפס נקראים מחלקי אפס. איבר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a \neq 0} נקרא מחלק אפס ימני אם קיים ${\displaystyle \ b\neq 0}$ כך ש- ${\displaystyle \ ab=0}$, ובדומה לזה b הוא מחלק אפס שמאלי. בחוג קומוטטיבי, מושגים אלו מתלכדים. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא תחום, ותחום קומוטטיבי נקרא תחום שלמות. לדוגמה, בשדה אין מחלקי אפס.

דוגמאות

1. נביט בחוג המטריצות מסדר ${\displaystyle \ 2\times 2}$ מעל המספרים הרציונליים. מכיוון ש- ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$, נקבל ש- ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ הוא מחלק אפס שמאלי ועיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}} היא מחלק אפס ימני. באופן כללי, מטריצה מעל שדה היא מחלק אפס (ימני ושמאלי) אם ורק אם היא אינה הפיכה.

2. כל אידמפוטנט e שאינו איבר היחידה של החוג הוא מחלק אפס. (אכן, לפי ההנחה קיים x בחוג כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ex-x \neq 0} , ואז ${\displaystyle \ e(ex-x)=ex-ex=0}$). בפרט איבר יחידה של תת-חוג, שאינו איבר יחידה של החוג כולו, הוא מחלק אפס.

ראו גם

• מאפס
• תחום