מטריצת אחדות

מטריצת אחדות במתמטיקה היא מטריצה שבה כל האיברים הם אחדות. לדוגמה:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

יש להבחין בין מטריצת אחדות לבין מטריצת היחידה, אף על פי שבמקרים מסוימים השימוש הוא במונחים מתחלף.

תכונות מתמטיות

למטריצת אחדות ריבועית מגודל n×n שנסמנה U, מתקיימות התכונות הבאות:

• העקבה של U היא n.
• הדטרמיננטה של U היא 1 אם n הוא 1 ו-0 אחרת. לכן המטריצה הפיכה רק במקרה החד-ממדי.
• הדרגה של U היא 1, והערכים העצמיים הוא n פעם אחת ו-0, n-1 פעמים.
• ${\displaystyle U^{k}=n^{k-1}U,{\mbox{ for }}k=1,2,\ldots .\,}$
• המטריצה ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}U}$ היא אידמפוטנט (נגזר ישירות מהתכונה הקודמת).
• ${\displaystyle \operatorname {exp} (U)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}U,}$ כאשר ${\displaystyle \operatorname {exp} (U)}$ הוא אקספוננט מטריציאלי.