מטריצת ונדרמונד

באלגברה ליניארית, מטריצת ונדרמונד (על שם אלכסנדר ונדרמונד) היא מטריצה מסדר ${\displaystyle n\times m}$ כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא סדרה הנדסית, כמתואר כאן:

$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}}}$$

אם המטריצה ריבועית (m=n), אז הדטרמיננטה שלה, הנקראת דטרמיננטת ונדרמונד, מבוטאת על ידי הביטוי: ${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).}$

מטריצה זו מעריכה פולינום בנקודות: היא מעבירה את המקדמים של הפולינום ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}}$ לערכים שהפולינום מקבל בנקודות ${\displaystyle \alpha _{i}.}$. לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה פולינומית, אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.

דוגמה למטריצת ונדרמונד מיוחדת היא מטריצה של התמרת פורייה שבה α_i נבחרים להיות שורשי היחידה:

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\omega ^{3}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\1&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\cdots &\omega ^{3(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\omega ^{3(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\\\end{bmatrix}},}$ כאשר ${\displaystyle \omega =e^{-{\frac {2\pi i}{N}}}}$

קישורים חיצוניים

• מטריצת ונדרמונד, באתר MathWorld (באנגלית)

• כיצד לחשב את דטרמיננטת ונדרמונד באתר ProofWiki