מניפולציה (תורת המשחקים)

בתורת המשחקים, מניפולציה הינה מצב בו שחקן במשחק שיתופי יכול לשנות את תוצאת פונקציית בחירה חברתית לטובתו (כלומר, כך שהתוצאה תהא עדיפה יותר על פי יחס ההעדפות שלו) על ידי בחירה בניגוד ליחס ההעדפות שלו.

תהליך הבחירה החברתית בנוי כך שכל פרט אמור לדווח מה הוא יחס ההעדפות החזק שלו על קבוצת האפשרויות הנתונות ופונקציית הבחירה החברתית תחזיר אפשרות אחת שמוגדרת כאפשרות העדיפה על החברה כולה. בתהליך הזה ישנה הנחה שהפרט מדווח באופן אמיתי על יחס ההעדפות החזק שלו. אך, יכול להיות מצב שבו לפרט יש אינטרס לשקר בנוגע לפרופיל ההעדפות החזק שלו, ולדווח על פרופיל העדפות חזק אחר, ועל ידי כך להביא למצב שבו תיבחר אפשרות שעדיפה לו. אם מצב כזה אפשרי נאמר שתהליך הבחירה החברתית ניתן למניפולציה.

למונח מניפולציה שימוש עיקרי במשפט Gibbard-Satterthwaite.

פונקציה הניתנת למניפולציות

הגדרה: פונקציית בחירה חברתית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!G} תיקרא ניתנת למניפולציות אם עבור קבוצת השחקנים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! N} קיימים:

1. פרופיל העדפות חזקות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! P^N}
2. פרט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \in N}
3. יחס העדפות חזקות ${\displaystyle \!Q_{i}}$

כך שמתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!G(Q_i,P_{-i})\succ_{p_i} G(P^N)} . כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \!P_{-i}} הינו פרופיל ההעדפות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!i\not=\forall j\in N} .

כלומר, פונקציית בחירה חברתית G ניתנת למניפולציה אם ישנו פרופיל העדפות חזקות כלשהו שבו יש פרט שיכול לדווח על יחס העדפות חזק שונה ממה שיש לו באמת ועל ידי כך לגרום לאפשרות טובה יותר עבורו להיבחר. אלמלא היה בוחר לשקר הייתה נבחרת האפשרות הפחות טובה עבורו.

פונקציית בחירה חברתית שתרחיש כזה לא יכול להתקיים בה נקראת עמידה למניפולציות.

פונקציית בחירה חברתית דיקטטורית היא בהכרח עמידה למניפולציות. לדיקטטור אין אינטרס לדווח על יחס העדפות חזק שונה מהאמת משום שבכל מקרה האפשרות הנבחרת היא העדיפה עליו. אם ידווח על יחס העדפות שונה הוא לא ירוויח. לכל שאר הפרטים גם אין אינטרס לדווח על יחס העדפות שונה מכיוון שבכל מקרה יחסי ההעדפות שלהם אינם משפיעים על בחירת האפשרות העדיפה.

שימוש במשפט Gibbard-Satterthwaite

משפט Gibbard-Satterthwaite גורס כי עבור פונקציית בחירה חברתית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!G} המקיימת:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!G} עמידה למניפולציות
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!G} פה אחד
• הטווח של ${\displaystyle \!G}$ מכיל לפחות שלוש אפשרויות

אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!G} דיקטטורית. מכך נובעת המסקנה החזקה כי אם פונקציית בחירה איננה דיקטטוריות אזי בהכרח קיימים מצבים בהם עדיף לפחות לשחקן אחד להצביע בשונה מיחס ההעדפות האמיתי שלו;כלומר, להפעיל מניפולציה.

דוגמה

ולדימיר (נסמנו ב-1), איליץ' (נסמנו ב-2) ולנין (נסמנו ב-3) הם חברי הסובייט של הכפר, הנדרשים לבחור באיזה צבע יצבעו כל בתי הכפר: a-אדום,b-בורדו,c-כחול. כל אחד מדרג את הצבעים מהאהוב עליו ביותר, לאהוב עליו פחות. הצבע נבחר לפי דירוג בורדה (צבע מקבל K נקודות מבוחר מסוים אם הבוחר דירג K צבעים כעדיפים פחות מצבע זה-הצבע בעל סך הנקודות הגבוהה ביותר מנצח), ובמקרה של תיקו הצבע הנבחר הוא אדום. נתבונן בפרופיל ההעדפות הבא:

• ${\displaystyle \!a\succ _{p_{1}}b\succ _{p_{1}}c}$
• ${\displaystyle \!c\succ _{p_{2}}a\succ _{p_{2}}b}$
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!b\succ_{p_3}c\succ_{p_3}a}

אם כולם מדווחים על פרופילי ההעדפות האמיתיים שלהם, אזי בתי הכפר יצבעו באדום(תיקו על פי דירוג בורדה a=3, b=3, c=3). אולם, אם לנין ידווח כי וקטור ההעדפות שלו הוא כדלהלן: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \!c\succ _{p_{3}}b\succ _{p_{3}}a} אזי הצבע הנבחר יהא כחול (על פי דירוג בורדה a=3, b=2, c=4);המדורג גבוה יותר מאדום על פי יחס ההעדפות האמיתי של לנין. לכן, פונקציית בחירה חברתית זו הינה ניתנת למניפולציות.

ראו גם

• תורת המשחקים - מונחים