מספרי אוילר

מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):

$${\displaystyle {\text{sech}}(t)={\frac {1}{\cosh(t)}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$$

ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: ${\displaystyle E_{0}=1;E_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}E_{k}}$

ובקירוב: ${\displaystyle E_{2n}\approx \left(-\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2}\right)^{n}8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}}$

• סקאנט: ${\displaystyle \sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }E_{2n}{\frac {(-x^{2})^{n}}{(2n)!}}\quad :|x|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln(x)^{n}}{1+x^{2}}}dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}}$

מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=1\\E_{2}&=-1\\E_{4}&=5\\E_{6}&=61\\E_{8}&=1,385\\E_{10}&=-50,521\\E_{12}&=2,702,765\\E_{14}&=-199,360,981\\E_{16}&=19,391,512,145\\E_{18}&=-2,404,879,675,441\end{aligned}}}$$

ראו גם

• מספרי ברנולי