פונקציות היפרבוליות

במתמטיקה, פונקציות היפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות: בעוד שהנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(\cos(t),\sin(t)\bigr)} יוצרות יחדיו מעגל, הנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(\cosh(t),\sinh(t)\bigr)} מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ , ומכאן שמן. הפרמטר ${\displaystyle t}$ הוא זווית היפרבולית המייצגת את פעמיים השטח בין ציר X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.

הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות

sinh, cosh, tanh

בהינתן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^2=-1} (ראו מספר מרוכב) הפונקציות ההיפרבוליות הן:

סינוס היפרבולי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-i\sin(xi)}

קוסינוס היפרבולי: ${\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos(xi)}$

טנגנס היפרבולי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=-i\tan(xi)}

סקאנט היפרבולי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sec(xi)}

קוסקאנט היפרבולי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{csch}(x)=\frac{1}{\sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=i\csc(xi)}

קוטנגנס היפרבולי: ${\displaystyle \coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=i\cot(xi)}$

הגדרה לפי טורים

ניתן להביע את הפונקציות ההיפרבוליות כטורים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\\ \cosh(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \tanh(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_n}{(2n)!}x^{2n-1},\quad|x|<\frac{\pi}{2}\\ \text{sech}(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{E_n(-x^2)^n}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}\\ \text{csch}(x)=\frac1x-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1},\quad0<|x|<\pi\\ \coth(x)=\frac1x+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_n}{(2n)!}x^{2n-1},\quad0<|x|<\pi\end{align}}

כאשר:

${\displaystyle B_{n}}$ מספר ברנולי ה־${\displaystyle n}$־י.

${\displaystyle E_{n}}$ הוא מספר אוילר ה־${\displaystyle n}$־י.

קשרים לפונקציות טריגונומטריות

מימין העקום הפרמטרי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(\sin(t),\cos(t)\bigr)} ומשמאל העקום ${\displaystyle {\bigl (}\sinh(t),\cosh(t){\bigr )}}$ , שניהם בטווח: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\pi<t<\pi} . כפי שניתן לראות, העקומה מימין מתארת מעגל ואילו העקומה משמאל מתארת היפרבולה

כשם שהנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl(\sin(t),\cos(t)\bigr)} מגדירות מעגל, הנקודות ${\displaystyle {\bigl (}\sinh(t),\cosh(t){\bigr )}}$ מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ (הקביעה מתבססת על הזהות ${\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\sinh ^{2}(t)=1}$ ועל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(t)>0} לכל ${\displaystyle t}$). הפרמטר ${\displaystyle t}$ איננו זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר X, ההיפרבולה, והקו הישר המחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה ${\displaystyle {\bigl (}\sinh(t),\cosh(t){\bigr )}}$ .

למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות, בניגוד לפונקציות הטריגנומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגנומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי מרוכב אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.

ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגנומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x)=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}} בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת ${\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$ .

בדומה לפונקציה ${\displaystyle \cos(x)}$ , הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(x)} היא פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y) ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(0)=1} . באופן דומה, הן ${\displaystyle \sin(x)}$ והן ${\displaystyle \sinh(x)}$ פונקציות אי־זוגיות (סימטרית סביב ראשית הצירים) ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(0)=0} . הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות לזהויות טריגונומטריות. למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל ביטוי שמכיל שני סינוסים היפרבוליים. למשל:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\cosh(x)^2=\frac{1+\cosh(2x)}{2}\ \Rarr\ \cos(x)^2=\frac{1+\cos(2x)}{2}\\ \sinh(x)^2=\frac{\cosh(2x)-1}{2}\ \Rarr\ \sin(x)^2=\frac{1-\cos(2x)}{2}\end{align}}

זהויות נוספות

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\sinh(x\pm y)=\sinh(x)\cosh(y)\pm\cosh(x)\sinh(y)\\ \cosh(x\pm y)=\cosh(x)\cosh(y)\pm\sinh(x)\sinh(y)\\ \tanh(x\pm y)=\frac{\tanh(x)\pm\tanh(y)}{1\pm\tanh(x)\tanh(y)}\end{align}}

פונקציות היפרבוליות הפוכות

Arctanhx

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\text{arcinh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\ \text{arcosh}(x)=\ln\left(x\pm\sqrt{x^2-1}\right)\\ \text{artanh}(x)=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\tfrac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\\ \text{arsech}(x)=\ln\left(\frac{1\pm\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\\ \text{arcsch}(x)=\ln\left(\frac{1\pm\sqrt{1+x^2}}{x}\right)\\ \text{arcoth}(x)=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\tfrac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\end{align}}

פונקציות היפרבוליות הפוכות כטורים

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \text{arsinh}(x)=x-\left(\frac12\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{(2^nn!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad|x|<1\\ \text{arcosh}(x)=\ln(2)-\left(\left(\frac12\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots\right)=\ln(2)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{(2^nn!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1\\ \text{artanh}(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{2n-1},\quad|x|<1\\ \text{arcsch}(x)=\text{arsinh}(x^{-1})=x^{-1}-\left(\frac12\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{(2^nn!)^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{2n+1},\quad|x|<1\\ \text{arsech}(x)=\text{arcosh}(x^{-1})=\ln(2)-\left(\left(\frac12\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots\right)=\ln(2)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{(2^nn!)^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},\quad0<x\le1\\ \text{arcoth}(x)=\text{artanh}(x^{-1})=x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{-(2n-1)}}{2n-1},\quad|x|>1 \end{align}}

פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים

פונקציות היפרבוליות יכולות לקבל בתור ארגומנט מספר מרוכב. ניתן, בעזרת נוסחת אוילר (${\displaystyle e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)}$) להגיע לקשרים הבאים בין הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות הטריגונומטריות עבור ארגומנטים מרוכבים:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(xi)={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}}=\cos(x)\\\sinh(xi)={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2}}=i\sin(x)\\\tanh(xi)=i\tan(x)\\\sinh(x)=-i\sin(xi)\\\cosh(x)=\cos(xi)\\\tanh(x)=-i\tan(xi)\\{\text{arsinh}}(x)=i\arcsin(-xi)\\{\text{arcosh}}(x)=-i\arccos(x)\\{\text{artanh}}(x)=i\arctan(-xi)\end{aligned}}}$

במשוואות הבאות ${\displaystyle z=x+yi,\quad z\in \mathbb {C} }$ :

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\sin(z)=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\ \cos(z)=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ \sinh(z)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\ \cosh(z)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\ |\sin(z)|^2=\sin(x)^2+\sinh(y)^2\\ |\cos(z)|^2=\cos(x)^2+\sinh(y)^2\\ \bigl|\sinh(z)^2\bigr|=\sinh(x)^2+\sin(y)^2\\ \bigl|\cosh(z)^2\bigr|=\sinh(x)^2+\cos(y)^2\end{align}}

שימושים בפונקציות היפרבוליות

הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}} (זאת בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות מופיעות בבעיות, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$).

דוגמאות:

• קוסינוס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את צורתו של כבל תלוי בין שני עמודים.
• טנגנס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את מהירותו של עצם הנופל נפילה חופשית כשהוא נתון להשפעת כובדו ולכוח התנגדות האוויר, שיחסי למהירות בריבוע.
• סינוס היפרבולי מופיע בביטוי לפוטנציאל הכבידתי של גליל, ובחישוב גבול רוש (Roche limit).
• טנגנס היפרבולי מופיע בחישובי מהירות בתורת היחסות הפרטית.
• סינוס, קוסינוס וטנגנס היפרבוליים מופיעים בחישובי תורת היחסות הכללית.
• הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות במשפטים בגאומטריה היפרבולית.
• מבנה קשת השער מתוכנן על בסיס של פונקציית קוסינוס היפרבולי.

ראו גם

• נגזרות של פונקציות היפרבוליות
• קו השרשרת

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.