מספר מרסן

מספרי מרסן, הנקראים על שם המתמטיקאי האב מרן מרסן, הם מספרים שהם חזקה של 2 פחות 1, כלומר, בתבנית ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$ . ארבעת מספרי מרסן הטבעיים הראשונים הם 3,7,15,31.

למספרי מרסן ראשוניים יש קשר הדוק למספרים משוכללים, שהם מספרים השווים לסכום מחלקיהם. מבחינה היסטורית, המחקר על מספרי מרסן בא מקשר זה:

אוקלידס הראה במאה ה-4 לפנה"ס שאם ${\displaystyle M_{n}}$ הוא מספר מרסן ראשוני אז

${\displaystyle {\frac {M_{n}(M_{n}+1)}{2}}=2^{n-1}(2^{n}-1)}$

הוא מספר משוכלל. כעבור כאלפיים שנה, במאה ה-18, הראה אוילר שכל המספרים המשוכללים הזוגיים הם בתבנית זו. לא ידוע האם יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים.

הפירוק

${\displaystyle (2^{a}-1)\cdot (1+2^{a}+2^{2a}+\cdots +2^{(b-1)a})=2^{ab}-1}$

מראה כי ${\displaystyle M_{n}}$ יכול להיות ראשוני רק אם ${\displaystyle n}$ עצמו ראשוני, מה שמקל במידה ניכרת על חיפוש מספרי מרסן ראשוניים. אך ההפך אינו נכון: ${\displaystyle M_{n}}$ יכול להיות פריק כאשר ${\displaystyle n}$ ראשוני. למשל ${\displaystyle 2^{11}-1=23\cdot 89}$ .

לא ידוע האם קיים מספר משוכלל אי־זוגי. נימוקים היוריסטיים מראים שהתשובה ככל הנראה שלילית.

נכון ל־2019 מספר מרסן הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני ה־51, ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$. למספר זה 24,862,048 ספרות עשרוניות והוא התגלה על ידי מיזם GIMPS.^[1]

החיפוש אחר מספרי מרסן ראשוניים

קיימים אלגוריתמים מהירים למציאת מספרי מרסן ראשוניים (כמו מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן), וכתוצאה מכך המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים היום הם מספרי מרסן.

החל מסוף המאה ה-20 התפתח מאוד התחום של חישוב מבוזר קהילתי. מציאת מספר ראשוני גדול כרוכה בפעולות חישוביות רבות, אך ניתן לחלק את כלל המספרים לבדיקה בין משתמשים רבים כך שכל אחד בודק מספר אחר, ובדרך כלל יוקצה מספר זהה לשני בודקים שונים. בדרך זו גדלים הסיכויים למצוא מספרים אלה, אם כי בהחלט יתכן שמספר גדול יותר יימצא לפני מספרים קטנים ממנו. למעשה, נכון לפברואר 2016, נבדקו כל מספרי מרסן ברצף רק עד המספר ${\displaystyle 2^{63,012,913}-1}$ .^[2]

המיזם שנטל על עצמו את ניהול המספרים, הקצאתם לבדיקה ובדיקת התוצאות החוזרות הוא GIMPS. גוף זה גם מכריז על מספרי מרסן ראשוניים חדשים שהתגלו, מעת לעת.

• ב־23 באוגוסט 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה־47, ${\displaystyle 2^{43,112,609}-1}$ . מספר זה, שהתגלה במחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, הוא בן 12,978,189 ספרות עשרוניות. מספר זה הוכרז כמנצח הפרס בן $100,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית.
• ב־6 בספטמבר 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה־45, ${\displaystyle 2^{37,156,667}-1}$ . למספר זה 11,185,272 ספרות עשרוניות והוא התגלה על־ידי משתמש גרמני מעיר ליד קלן בגרמניה. זה היה מספר מרסן הראשוני הראשון שנתגלה באופן בלתי רציף מאז 1988.
• ב־17 בספטמבר 2015 נשלחה ממחשבו של קורטיס קופר הודעה לשרת מיזם GIMPS על גילוי מספר מרסן הראשוני ה־49. אולם, בגלל באג תוכנתי, ההודעה לא התקבלה. כך נשאר מספר זה עלום עד עבודות התחזוקה השוטפות של השרת, כשלושה חודשים וחצי לאחר מכן. ב־7 בינואר 2016 הוכרז המספר באופן רשמי אך, תאריך הגילוי הקובע הוא היום בו נשלחה לראשונה (17 בספטמבר 2015) ההודעה לשרת. קביעה זו באה בעקבות המקרה שאירע ב-3 בנובמבר 1961. ביום זה קרא אלכסנדר הורוויץ את תדפיס המחשב שלו מהסוף להתחלה (מאחר שזו הדרך שבה נערם. בדומה למדפסת המפיקה דו"ח מההתחלה לסוף כך שהדף הראשון של הדו"ח יימצא בתחתית הערמה) והבחין במספר מרסן הראשוני ה־20, ${\displaystyle 2^{4,423}-1}$ מספר שניות לפני מספר מרסן הראשוני ה־19, ${\displaystyle 2^{4,253}-1}$ , אף־על־פי שהמספר הקטן התגלה מוקדם יותר. מכאן ${\displaystyle 2^{4,253}-1}$ נחשב ל"מספר מרסן הראשוני שמעולם לא היה הגדול ביותר" כשהתגלה.^[3]

GIMPS העניקו $50,000 למחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, $25,000 מיועדים לצדקה ורוב שאר הכסף יועבר למגלים של ששת מספרי מרסן הראשוניים האחרונים.

למגלי המספר הראשוני הראשון שלו 100 מיליוני ספרות ממתין פרס בן $150,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית^[4]. למגלי המספר הראשוני הראשון שלו לפחות מיליארד ספרות ממתין פרס בן $250,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית.^[5]

רשימת מספרי מרסן ראשוניים

ראו גם

• קבוע ארדש-בורוויין
• מרסן (אסטרואיד)
• פרנק נלסון קול
• מספר פרמה

קישורים חיצוניים

• אתר GIMPS – המרכז את החיפוש אחר מספרי מרסן חדשים.
• מספרי מרסן/טיפוסי מספרים בתורת המספרים באתר של המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי, באר־שבע

הערות שוליים