סדרת לוקאס

במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה ${\displaystyle a_{n+2}=Pa_{n+1}-Qa_{n}}$ , כאשר ${\displaystyle P,Q}$ קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדואר לוקאס.

הגדרה פורמלית

לאחר בחירת הקבועים ${\displaystyle P,Q}$ , סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה ${\displaystyle L_{n}=PL_{n-1}-QL_{n-2}}$ , ותנאי ההתחלה הקובעים את ${\displaystyle L_{0},L_{1}}$ . בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה ${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,U_{1}(P,Q)=1}$ (ונוסחת הנסיגה ${\displaystyle U_{n}=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q)}$) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה ${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,V_{1}(P,Q)=P}$ (ונוסחת הנסיגה ${\displaystyle V_{n}=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q)}$) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.

למשל,

• ${\displaystyle U_{n}(1,-1)}$ סדרת פיבונאצ'י.
• ${\displaystyle V_{n}(1,-1)}$ מספרי לוקאס.
• ${\displaystyle U_{n}(2,-1)}$ סדרת פל.
• ${\displaystyle V_{n}(2,-1)}$ סדרת פל-לוקאס.
• ${\displaystyle U_{n}(3,2)}$ מספרי מרסן.
• ${\displaystyle U_{n}(6,8)=2^{n-1}(2^{n}-1)}$ סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות:

${\displaystyle {\binom {L_{n}}{L_{n-1}}}={\begin{pmatrix}P&Q\\1&0\end{pmatrix}}{\binom {L_{n-1}}{L_{n-2}}}}$

לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא ${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0}$ . נסמן את הדיסקרימיננטה ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$ , לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

${\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}$

ולכן אם שני השורשים שונים אז

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}\\V_{n}=a^{n}+b^{n}\end{aligned}}}$

ואם שני השורשים זהים, ${\displaystyle U_{n}=nS^{n-1},V_{n}=2S^{n}}$ כאשר מתקיים ${\displaystyle S={\sqrt {Q}}={\tfrac {P}{2}}}$ .

זהויות

סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

${\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1),L_{n}=V_{n}(1,-1)}$

זהות כללית	מקרה פרטי
${\displaystyle (P^{2}-4Q)U_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}}$	${\displaystyle 5F_{n}=L_{n+1}+L_{n-1}=2L_{n+1}-L_{n}}$
${\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}}$	${\displaystyle L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}}$
${\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}}$	${\displaystyle F_{2n}=F_{n}L_{n}}$
${\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}}$	${\displaystyle L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$
${\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}}$	${\displaystyle F_{n+m}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{n}L_{m}+F_{m}L_{n}}{2}}}$
${\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}}$	${\displaystyle L_{n+m}=L_{n}L_{m}-(-1)^{m}L_{n-m}}$