מרכז (תורת החבורות)

בתורת החבורות מרכז החבורה G היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי G: ${\displaystyle \ Z(G)=\{z\in G|gz=zg\ \forall g\in G\}}$. המרכז הוא תמיד תת חבורה נורמלית ואבלית של G.

אם G היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם ${\displaystyle \ Z(G)=\{e\}}$ (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק).

נתבונן בהומומורפיזם ${\displaystyle \varphi }$ מהחבורה G לחבורת האוטומורפיזמים שלה ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$ המוגדר לפי ${\displaystyle \ (\varphi (g))(h)=ghg^{-1}}$. הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של G, והתמונה ${\displaystyle \varphi (G)}$ היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של G, ומסומנת ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ${\displaystyle \ G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G)}$. לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-${\displaystyle G^{\mathrm {ad} }=G/Z(G)}$

ראו גם

• מרכז (אלגברה)