חבורת אוטומורפיזמים

בתורת החבורות, חבורת אוטומורפיזמים של חבורה G היא אוסף כל האוטומורפיזמים של החבורה לעצמה, כלומר, אוסף הפונקציות ההפיכות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \sigma :G\rightarrow G} , המקיימות את התנאי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)} (מאקסיומה זו נובע גם ש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(1) = 1} , כאשר 1 הוא איבר היחידה של G).

אם G היא חבורה, כל פעולת הצמדה, מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x\mapsto g x g^{-1}} , היא אוטומורפיזם, הנקרא אוטומורפיזם פנימי. אוסף האוטומורפיזמים הפנימיים הוא תת-חבורה נורמלית של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Aut}(G)} , שאותה מסמנים בסימון עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \operatorname {Inn} (G)} . הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G \rightarrow \operatorname{Aut}(G)} המעתיקה את האיבר g לאוטומורפיזם ההצמדה ${\displaystyle \ \gamma _{g}:x\mapsto gxg^{-1}}$ היא הומומורפיזם, שהתמונה שלו היא כמובן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \operatorname {Inn} (G)} , והגרעין שלו הוא המרכז ${\displaystyle \ Z(G)}$ של G. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)} .

אוטומורפיזם שאינו פנימי נקרא "חיצוני". תוך שיבוש קל של הטרמינולוגיה, חבורת המנה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)} נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של G. לחבורה אבלית אין אוטומורפיזם פנימי לא טריוויאלי, אבל כאשר המרכז קטן (ובפרט, כאשר הוא טריוויאלי), לא פשוט לבנות אוטומורפיזמים חיצוניים, ובדרך כלל חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים קטנה ביחס לחבורה. חבורה בת מרכז טריוויאלי ונטולת אוטומורפיזמים חיצוניים נקראת חבורה שלמה.

דוגמאות

• חבורת האוטומורפיזם של חבורת השלמים החיבורית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbb{Z},+)} היא ${\displaystyle \{\mathrm {id} ,-1\}}$ כאשר ${\displaystyle \mathrm {id} }$ הוא אוטומורפיזם הזהות ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} הוא האוטומורפיזם השולח כל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \in \mathbb{Z}} ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -z \in \mathbb{Z}} . מאחר שזו חבורה אבלית, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Inn}(\mathbb{Z}) = \{ \mathrm{id} \}} היא חבורה טריוויאלית.
• חבורת האוטומורפיזמים של החבורה הציקלית מסדר n, ${\displaystyle \ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, היא חבורת אוילר מסדר n, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U_n} .
• אם p ראשוני, חבורת האוטומורפיזמים של המכפלה הישרה ${\displaystyle \ (\mathbb {F} _{p})^{n}}$ היא חבורת המטריצות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)} .

ראו גם

• אוטומורפיזם