משוואה אינטגרלית

משוואה אינטגרלית היא משוואה שבה פונקציה לא ידועה מופיעה תחת סימן האינטגרל. ישנו קשר הדוק בין משוואה דיפרנציאלית למשוואה אינטגרלית, ולעיתים ניתן לנסח בעיות בשתי הדרכים. דוגמאות בולטות לכך הן משוואות מקסוול.

סקירה כללית

הטיפוס הבסיסי ביותר של משוואה אינטגרלית נקרא משוואת פרדהולם מהסוג הראשון:

${\displaystyle f(x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,t)\varphi (t)dt}$

הסימון לעיל הוצע על ידי ג'ורג' ארפקן. כאן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} היא פונקציה לא ידועה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה ידועה ו-${\displaystyle K}$ היא פונקציה ידועה אחרת של שני משתנים שלעיתים נקראת פונקציית הגרעין. יש לשים לב לכך שגבולות האינטגרציה קבועים, מה שאופייני למשוואות פרדהולם.

אם הפונקציה הנעלמת מופיעה בתוך האינטגרל ומחוצה לו, המשוואה נקראת משוואת פרדהולם מהסוג השני, וניתן לכתוב אותה בצורה:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,t)\varphi (t)dt}$

כאשר הפרמטר ${\displaystyle \lambda }$ הוא פקטור לא ידוע, אשר יש לו תפקיד כערך עצמי במשוואה אלגברית.

אם אחד מגבולות האינטגרציה משתנה, המשוואה נקראת משוואת וולטרה. המשוואות הבאות נקראות משוואות וולטרה מהסוג הראשון והשני, בהתאמה:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\int \limits _{a}^{x}K(x,t)\varphi (t)dt\\\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,t)\varphi (t)dt\end{aligned}}}$

בכל סוגי המשוואות הנזכרים לעיל, אם הפונקציה הידועה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מתאפסת באופן זהותי, המשוואה נקראת משוואה אינטגרלית הומוגנית. אחרת, המשוואה נקראת משוואה אינטגרלית לא-הומוגנית.

קישורים חיצוניים

• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.