משוואת פל

משוואת פל (באנגלית: Pell's equation) היא משוואה דיופנטית מן הצורה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1} , כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} הוא שלם לא ריבועי, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} נעלמים שצריכים לקבל ערכים שלמים. אם אין ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מחלקים ריבועיים, אז למשוואה יש אינסוף פתרונות, שנובעים כולם מפתרון יסודי יחיד. את הפתרון היסודי אפשר לקבל על ידי פיתוח השורש הריבועי של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} לשבר משולב. משערים שבמקרה הטיפוסי, הפתרון היסודי הוא מסדר הגודל של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\sqrt D}} .

היסטוריה

משוואת פל נחקרה כבר במאה ה-7 בהודו, על ידי המתמטיקאי והאסטרונום בראהמגופטה, שפיתח את שיטת Chakravala לפתרון משוואות ממעלה שנייה, ובהן גם משוואת פל. שיטתו זו מופיעה בספרו Brahma Sphuta SiddhaDta כבר בשנת 628, כאלף שנים בטרם זמנו של ג'ון פל. ספרו זה תורגם לערבית בשנת 773, וללטינית ב-1126. הן Bhaskara II במאה ה-12 והן DarayaDa במאה ה-14 גילו פתרונות כלליים למשוואת פל ומשוואות ריבועיות דומות. את "בעיית הבקר של ארכימדס", אפשר לתרגם למשוואת פל, שפתרונה הוא בן 206,544 ספרות.

שם המשוואה נקבע על ידי לאונרד אוילר, אשר ייחס, את חקירתה למתמטיקאי האנגלי ג'ון פל. ישנם הטוענים שאוילר בלבל בין פל ללורד ברונקר, אשר היה המתמטיקאי האירופי הראשון שגילה פתרון כללי למשוואה. אולם, התייחסות למשוואת פל מופיעה בספר של יוהאן ראהן, אשר נטען שפל תרם לה רבות, וייתכן שאוילר במודע קרא למשוואה על שמו של פל. חקירה יסודית של המשוואה נעשתה על ידי ז'וזף לואי לגראנז'^[1].

משוואת פל ושלמים אלגבריים

הערך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Dy^2} הוא הנורמה של האיבר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+\sqrt{D}y} בשדה המספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q\bigl[\sqrt D\bigr]} . הפתרונות למשוואת פל, אם-כך, הם מספרים כאלה, שהנורמה שלהם היא 1. לפי משפט 90 של הילברט, הפתרון הכללי למשוואה הוא

${\displaystyle x+{\sqrt {D}}y={\frac {a+{\sqrt {D}}b}{a-{\sqrt {D}}b}}={\frac {a^{2}+Db^{2}}{a^{2}-Db^{2}}}+{\frac {2ab}{a^{2}-Db^{2}}}{\sqrt {D}}}$

ובגלל ההומוגניות אפשר להניח כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a,b} שלמים. זהו, אם כן, הפתרון הכללי במספרים רציונליים.

הדרישה שהמקדמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} שלמים פירושה שמחפשים את האבר דווקא בחוג ${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\sqrt {D}}{\bigr ]}}$ , שבו אברים בעלי נורמה 1 הם אברים הפיכים. למעשה האיברים ההפיכים הם בעלי נורמה 1 או 1-, ולכן מעוניינים גם בפתרונות למשוואה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Dy^2=-1} . לעיתים מחפשים פתרונות בחוג השלמים של השדה, השווה לחוג ${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\sqrt {D}}{\bigr ]}}$ אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle D\equiv 2,3{\pmod {4}}} , ול-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\right]} אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D\equiv1\pmod4} . במקרה האחרון האברים ההפיכים מתאימים לפתרונות של המשוואות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Dy^2=\pm1,\pm4} . משפט היחידות של דיריכלה מתאר את אוסף האיברים ההפיכים בחוגים כאלה, ולכן אפשר לראות בו הכללה של פתרון משוואת פל.

היתרון בגישה זו הוא שהיא מציעה באופן טבעי פעולת כפל של פתרונות: הנורמה היא פונקציה כפלית, ולכן אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Dy^2=1,{x'}^2-D{y'}^2=1} , מתקבל פתרון נוסף מן המכפלה

${\displaystyle (x^{2}-Dy^{2})({x'}^{2}-D{y'}^{2})=(xx'+Dyy')^{2}-D(xy'+yx')^{2}=1}$

באופן כזה אפשר ליצור מפתרון אחד סדרה אינסופית של פתרונות. למעשה, אפשר להוכיח שאוסף הפתרונות הוא בעל מבנה כזה בדיוק: כולם נוצרים מפתרון יסודי אחד. יתרה מזו, הפתרונות לכל משוואה מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Dy^2=k} מתקבלים מהכפלת מספר סופי של פתרונות יסודיים של המשוואה, בפתרונות השונים של המשוואה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1} .

גודלם של הפתרונות

ידוע שהפתרון היסודי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} מקיים את החסם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |y|<|x|<(4e^2D)^{\sqrt D}} , ומשערים שזה החסם הנכון, עד כדי סדר הגודל. למשל, עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=661} הפתרון הקטן ביותר למשוואה הוא

${\displaystyle x=16421658242965910275055840472270471049}$ (38 ספרות)

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=638728478116949861246791167518480580} (36 ספרות)

(זהו הפתרון היסודי הגדול ביותר עם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D\le1000} ).

ראו גם

• סדרת פל
• שבר משולב

קישורים חיצוניים

• Pell's equation, Math Tutor

הערות שוליים