משחק רוב משוקלל

סימונים

יהי ${\displaystyle \;(N;v)\;}$ משחק פשוט ו-${\displaystyle \;y\in \mathbb {R} ^{n}\;}$ וקטור כלשהו. נסמן: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; q(y)= \min_{S \in \mathcal{W}^m}y(S) \;} .

ע"פ סימון זה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(w),w] \;} היא הצגה של משחק הרוב המשוקלל ${\displaystyle \;[q;w]\;}$.
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(w),w] \;} הצגה הומוגנית אם ורק אם לכל ${\displaystyle \;S\subseteq {\mathcal {W}}^{m}\;}$ מתקיים ${\displaystyle \;w(S)=q(w)\;}$

גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע

משפט: יהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;[q(w);w]\;} משחק רוב משוקלל סכום קבוע, ויהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;[q(w);w]\;} הגרעינון של המשחק, אזי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;[q(w);w]\;} היא הצגה מנורמלת של המשחק.

הוכחת המשפט
על מנת להוכיח את המשפט, להלן שתי טענות עזר:

טענת עזר 1: יהי ${\displaystyle \;x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\;}$ וקטור המקיים ${\displaystyle \;\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=1\;}$. יהי ${\displaystyle \;(N;v)\;}$ משחק פשוט מונוטוני סכום קבוע. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(x);x] \;} היא הצגה של ${\displaystyle \;(N;v)\;}$ אם ורק אם ${\displaystyle \;q(x)>{\tfrac {1}{2}}\;}$.
הוכחת טענת עזר 1:
בתחילה, נניח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(x);x] \;} הצגה של ${\displaystyle \;(N;v)\;}$. קואליציה מנצחת במשחק אם ורק אם סכום המשקולות של חבריה גדול או שווה ל-${\displaystyle \;q(x)\;}$. נניח בשלילה ${\displaystyle \;q(x)\leq {\tfrac {1}{2}}\;}$. כלומר, קיימת קואליציה מינימלית מנצחת ${\displaystyle \;{\hat {S}}\;}$ כך ש:
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x(N \smallsetminus \hat{S})=x(N)-x(\hat{S})=1-x(\hat{S})=1-q(x) \ge \tfrac{1}{2} \ge q(x) \;}
כלומר, גם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; N \smallsetminus \hat{S} \;} מנצחת, בסתירה לכך שהמשחק סכום קבוע (${\displaystyle \;v({\hat {S}})+v(N\smallsetminus {\hat {S}})=2>1=v(N)\;}$).
כעת, נניח ${\displaystyle \;q(x)>{\tfrac {1}{2}}\;}$. תהי קואליציה ${\displaystyle \;S\;}$.
אם ${\displaystyle \;S\;}$ מנצחת אזי היא מכילה קואליציה זוכה מינימלית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; \tilde{S} \;} ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x(S) \ge x(\tilde{S}) \ge q(x) \;} .
אם ${\displaystyle \;S\;}$ מפסידה אזי ${\displaystyle \;N\smallsetminus S\;}$ מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים ${\displaystyle \;x(N\smallsetminus S)\geq {\tfrac {1}{2}}\;}$. כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x(S)=x(N)-x(N \smallsetminus S)=1-x(N \smallsetminus S) \le 1-q(x) \le \tfrac{1}{2} < q(x) \;}
בסה"כ קיבלנו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; v(S)=1 \;} (כלומר ${\displaystyle \;S\;}$ זוכה) אם ורק אם ${\displaystyle \;x(S)\geq q(x)\;}$.
כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(x);x] \;} היא הצגה של ${\displaystyle \;(N;v)\;}$

טענת עזר 2: יהי ${\displaystyle \;(N;v)\;}$ משחק פשוט מונוטוני סכום קבוע. ויהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x^*= \mathcal{N} (N;v) \;} הגרעינון של המשחק. אזי לכל ${\displaystyle \;x\in X(N;v)\;}$ מתקיים ${\displaystyle \;q(x^{*})\geq q(x)\;}$. (הערה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;X(N;v)\;} היא קבוצת וקטורי התשלומים ב-${\displaystyle \;(N;v)\;}$)
הוכחת טענת עזר 2:
יהי ${\displaystyle \;x\in X(N;v)\;}$ כלשהו. ${\displaystyle \;x^{*}\;}$ הוא הגרעינון ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; \theta_1(x^*) \ge \theta_1(x) \;} כלומר:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;\max _{S\subseteq N}e(S,x^{*})\leq \max _{S\subseteq N}e(S,x)\;} .
כמו כן מתקיים:

${\displaystyle \;\max _{S\subseteq N}e(S,x){\underset {(1)}{=}}\max {\big \{}\max _{S\;win}e(S,x),\max _{S\;lose}e(S,x){\big \}}{\underset {(2)}{=}}\max _{S\;win}e(S,x)=\max _{S\;win}(1-x(S))=\max _{S\in {\mathcal {W}}^{m}}(1-x(S)){\underset {(3)}{=}}1-\min _{S\in {\mathcal {W}}^{m}}(1-x(S))=1-q(x)\;}$

כאשר שוויון (1) מתקיים, שכן ${\displaystyle \;\max _{S\;win}e(S,x)=\max _{S\;win}(v(S)-x(S))\geq 0\;}$ (כי למשל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; N \;} היא קואליציה זוכה עם עודף 0),
השוויון (2) מתקיים שכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; \max_{S \; lose}e(S,x) \le 0 \;} (עבור קואליציה מפסידה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; v(S)=0 \;} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x(S) \ge 0 \;} , מכיוון ש- ${\displaystyle \;x\in X(N;v)\;}$).
השוויון (3) מתקיים שכן ${\displaystyle \;x_{i}\geq 0\;}$ לכל השחקנים ( ${\displaystyle \;x\in X(N;v)\;}$) ולכן על מנת למקסם את ${\displaystyle \;1-x(S)\;}$ יש למזער את ${\displaystyle \;x(S)\;}$ על פני הקואליציות הזוכות המינימליות (וניתן למקסם עליהן בלבד, שכן המשחק מונוטוני).

לפיכך מתקיים:
${\displaystyle \;q(x^{*})=1-\max _{S\subseteq N}e(S,x^{*})\geq \ 1-max_{S\subseteq N}e(S,x)=q(x)\;}$

הוכחת המשפט:
תהי ${\displaystyle \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\;}$ הצגה מנורמלת של ${\displaystyle \;[q;w]\;}$. ע"פ טענת עזר 1 מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; q(\hat{w}) > \tfrac{1}{2} \;} . מטענת עזר 2, מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; q(x^*) \ge q(\hat{w}) \;} , כלומר ${\displaystyle \;q(x^{*})>{\tfrac {1}{2}}\;}$.
מכיוון ש- ${\displaystyle \;x^{*}(N)=v(N)=1\;}$, ע"פ טענת עזר 1 נקבל ${\displaystyle \;[q(x^{*});x^{*}]\;}$ היא הצגה מנורמלת של המשחק.

גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני

טענה: יהי ${\displaystyle \;(N;v)\;}$ משחק רוב משוקלל הומוגני. אז יש לו הצגה הומוגנית שבה שחקני אפס מקבלים 0.
הוכחה: תהי ${\displaystyle \;[q;w]\;}$ הצגה הומוגנית של המשחק. לכל קואליציה זוכה מינימלית ${\displaystyle \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;}$ מתקיים ${\displaystyle \;q(w)=w(S)\;}$ . תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; D \;} קבוצת שחקני האפס. נגדיר:
${\displaystyle \;{\hat {q}}={\tfrac {q(w)}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}\;}$
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;{\hat {w}}_{i}={\begin{cases}{\tfrac {w_{i}}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}&i\notin D\\0&i\in D\end{cases}}\;}
נותר לראות כי ${\displaystyle \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\;}$ היא הצגה הומוגנית של המשחק:
תהי קואליציה זוכה מינימלית ${\displaystyle \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;}$. ממינימליות ${\displaystyle \;S\;}$, נקבל כי ${\displaystyle \;S\;}$ לא מכילה שחקני אפס, ולכן מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;{\hat {w}}(S)=\sum _{i\in S}{\tfrac {w_{i}}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}={\tfrac {\sum _{i\in S}w_{i}}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}={\tfrac {q(w)}{\sum _{j\notin D}w_{j}}}={\hat {q}}\;}
כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; \forall S \in \mathcal{W}^m \; . \; \hat{w}(S)=\hat{q} \;} . ולכן ${\displaystyle \;[{\hat {q}};{\hat {w}}]\;}$ הצגה הומוגנית של המשחק.

משפט: יהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;[q(w);w]\;} משחק רוב משוקלל סכום קבוע הומוגני. הגרעינון הוא ההצגה המנורמלת ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.

הוכחת המשפט:
מקרה א': קיים שחקן i עבורו ${\displaystyle \;v(i)=1\;}$.
${\displaystyle \;(N;v)\;}$ משחק סכום קבוע ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; 1 + v(N \smallsetminus {i}) = v(i) + v(N \smallsetminus {i}) = v(N) =1 \;} , כלומר ${\displaystyle \;v(N\smallsetminus {i})=0\;}$. המשחק מונוטוני ולכן: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; \forall S \subseteq N \smallsetminus {i} = 0 \;} ,
וסה"כ נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;v(S)={\begin{cases}1&i\in S\\0&i\notin S\end{cases}}\;} ,
כלומר i דיקטטור.
במקרה זה, ההצגות ההומוגניות המנורמלות של המשחק נתונות על ידי ${\displaystyle \;[q;w]\;}$ עבור כל ${\displaystyle \;q\in ({\tfrac {1}{2}},1]\;}$ ועבור וקטור משקולות ${\displaystyle \;w=(w_{j})_{j=1}^{n}\;}$ המקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; w_i=q \;} ו-${\displaystyle \;\textstyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}=1\;}$.
ההצגה המנורמלת היחידה בה משקל כל שחקן אפס הוא 0, היא זו בה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; q=1 \;} ו-וקטור המשקולות הוא: ${\displaystyle \;w_{j}={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}\;}$.
וקטור משקולות זה הוא הגרעינון של המשחק (וגם ערך שפלי), מכיוון ששחקני אפס מקבלים 0 בגרעינון.

מקרה ב': לכל שחקן i מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; v(i)=0 \;} .
נסמן את קבוצת שחקני האפס במשחק ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; D \;} . מהטענה שהוכחנו - יש למשחק הצגה הומוגנית שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0. נסמן את ההצגה ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(y),y] \;} , ומתקיים ${\displaystyle \;\forall S\subseteq N\;.\;y(S)=q(y)\;}$. נגדיר את הפאון (פוליטופ) ${\displaystyle \;P\;}$ הבא:
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; P= \big\{ x \in \mathbb{R}^n \; \big| \; \forall i \in N \; . \; x_i \ge v(i) \;\; ; \;\; x(N)=v(N) \;\; ; \;\; \forall S \in \mathcal{W}^m \; . \; x(S) \ge q(y) \;\; ; \;\; \forall i \in D \; . \; x_i=0 \big\} \;}

הווקטורים ב-${\displaystyle \;P\;}$ יעילים וסבירים פרטית, כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; P \subseteq X(N;v) \;} .
עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(y);y] \;} היא הצגה הומוגנית שבה משקל כל שחקן אפס הוא 0 ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y \in P \;} , כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y \in X(N;v) \;} .
מהמשפט הקודם (אודות גרעינון של משחק רוב משוקלל סכום קבוע), הגרעינון, נסמנו ב-${\displaystyle \;x^{*}\;}$, הוא הצגה מנורמלת של המשחק, ולכן לכל ${\displaystyle \;S\in {\mathcal {W}}^{m}\;}$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x^*(S) \ge q(x^*) \;} .
מטענת עזר ב' (שבהוכחת המשפט הקודם), עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y \in X(N;v) \;} גורר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; q(x^*) \ge q(y) \;} , ולכן לכל ${\displaystyle \;S\subseteq {\mathcal {W}}^{m}\;}$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x^*(S) \ge q(y) \;} .
כלומר, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;x^{*}\in P\;} .
נניח בשלילה ${\displaystyle \;y\neq x^{*}\;}$. כלומר ב-${\displaystyle \;P\;}$ יש לפחות שתי נקודות קיצון: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y \;} ו-${\displaystyle \;z\;}$ כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; z \ne y \;} . כלומר, קיים אי שוויון בהגדרת ${\displaystyle \;P\;}$ שמקבל שוויון עבור ${\displaystyle \;z\;}$ אך מתקיים אי שוויון חזק עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y \;} . עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y \;} כל האי-שיוויונים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; x(S) \ge q(y) \;} מתקיימים כשוויון (שכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; [q(y),y] \;} הצגה הומוגנית, כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;\forall S\in {\mathcal {W}}^{m}\;.\;y(S)=q(y)\;} ). לכן בהכרח ${\displaystyle \;\exists i\;.\;(z_{i}=0=v(i))\,\land \,(y_{i}>0=v(i))\;}$.
בפרט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; \exists i \notin D \; . \; z_i=0=v(i) \;} (שכן לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; i \in D \;} מתקיים ${\displaystyle \;y_{i}=0=v(0)\;}$).
נסמן ב-j את השחקן שמקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;j\notin D\;} ו- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; z_j=0 \;} .
j אינו שחקן 0 ולכן קיימת קואליציה ${\displaystyle \;S\;}$ כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; v(S)=0 \;} אך ${\displaystyle \;v(S\cup {i})=1\;}$. תהי ${\displaystyle \;S_{0}\;}$ קואליציה מינימלית שעבורה מתקיים הדבר. מתקיים אפוא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; S \cup {j} \in \mathcal{W}^m \;} .
${\displaystyle \;S_{0}\;}$ מפסידה, ולכן, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; N \smallsetminus S_0 \;} מנצחת (שכן המשחק סכום קבוע) ומתקיים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; j \in N \smallsetminus S_0\;} . לכן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; q(y) \underset{(1)}{\le} z(N \smallsetminus S_0) = 1-z(S_0) = 1-z(S_0 \cup {j}) \underset{(2)}{\le} 1-q(y) \;}

אי שוויון (1) מתקיים כיוון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;z(T)\geq q(y)\;} לכל קואליציה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \;T\;} מנצחת, ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; N \smallsetminus S_0 \;} היא קואליציה מנצחת
אי שוויון (2) מתקיים מסיבה דומה, עבור הקואליציה המנצחת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; S_0 \cup {j} \;} .

סה"כ מתקיים ${\displaystyle \;q(y)\leq {\tfrac {1}{2}}\;}$, וזוהי סתירה לטענת עזר 1 (שבהוכחת המשפט הקודם).
לפיכך מתקבל: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \; y=x^* \;} . כלומר הגרעינון הוא ההצגה ההומוגנית היחידה שבה המשקל של כל שחקן אפס הוא 0.